Durée : 4 heures

Corrigé du baccalauréat S
Nouvelle-Calédonie mars 2011
E XERCICE 1
Commun à tous les candidats
Partie A : Restitution organisée de connaissances

6 points

1. u est dérivable sur R et u ′ (x) = 0, donc u ′ (x) = a × − y′ b
+b ⇐⇒ 0 = −b + b. a y

Donc u est une solution de (E).
2. f étant dérivable sur R, f − u l’est aussi et quel que soit x ∈ R,
( f − u)(x) = f (x) − u(x), d’où
( f − u)′ (x) = f ′ (x) − u ′ (x) = f ′ (x).
Donc f est solution de (E) si et seulement si quel que soit x ∈ R :

f ′ (x) = a f (x) + b ⇐⇒ f ′ (x) − u ′ (x) = a f (x) − au(x) + au(x) + b ⇐⇒ b ( f − u)′ (x) = a( f (x) − u(x)) + a × − + b ⇐⇒ ( f − u)′ (x) = a( f (x) − u(x)) − a b + b ⇐⇒
( f − u)′ (x) = a( f (x) − u(x)), c’est-à-dire que f − u est solution de l’équation différentielle y ′ = a y.

3. D’après le résultat initial donné on a donc f (x) − u(x) = K eax , K ∈ R, donc : b f (x) = K eax + u(x) = K eax − . a Partie B

1 v(t ).
10
On reconnaît une équation différentielle résolue dans la partie A avec a =
1
− et b = 3.
10
On a donc :
3
1
1
v(t ) = K e− 10 t − 1 = K e− 10 t + 30.
− 10
En utilisant la condition initiale v(0) = 0 ⇐⇒ K + 30 = 0 ⇐⇒ K = −30, on obtient finalement :

1. L’équation différentielle peut s’écrire : v ′ (t ) = 3 −



t  v(t ) = 30 1 − e 10 
−

2. a. On sait que la fonction v est dérivable sur [0 ; +∞[ et sur cet intervalle : t t
−
1 −
′
v (t ) = −30 − e 10 = 3e 10 > 0,
10
t
−
car on sait que e 10 > 0, quel que soit le réel t .
La fonction v est donc croissante sur [0 ; +∞[. t −
b. On sait que lim e 10 = 0, donc lim v(t ) = 30. x→+∞ x→+∞

A. P. M. E. P.

Baccalauréat S

3. Il faut donc résoudre l’inéquation dans [0 ; +∞[, v ′ (t ) < 0, 1, soit, d’après l’équation différentielle

t t 
−
−
1
1


3−
v(t ) < 0, 1 ⇐⇒ 3 −
× 30 1 − e 10 < 0, 1 ⇐⇒ 3e 10 < 0, 1 ⇐⇒
10
10 t −
10
e
< 0,1
3 ⇐⇒ (par croissance de la fonction logarithme népérien) t 1
1
< ln 30
⇐⇒ t > −10ln 30
.
−
10
1
Comme −10ln 30
≈ 34, 01, la vitesse est donc stabilisée à partir de la