Conditionnement

Pages: 14 (3342 mots) Publié le: 17 janvier 2013
CONDITIONNEMENT INDEPENDANCE
1°) Probabilité conditionnelle 1-1 Exercice Dans un lycée de 1000 élèves , 45 % des élèves sont des filles , 55 % des garçons . Parmi les filles , 30 % sont des internes et 70 % des externes Parmi les garçons , 60 % sont internes et 40 % externes a) Représenter cette situation par un arbre b) Calculer la probabilité de tirer , dans le fichier élève de tous les élèvesdu lycée ,  une fille externe  un élève externe c) On tire le fichier d’un élève et on constate qu’il est externe . Quelle est la probabilité que ce soit une fille ? 1-2 Définition Soit une expérience aléatoire d’univers des possibles Ω , B un évènement tel que p(B) ≠ 0 A un évènement La probabilité conditionnelle de A sachant que B est réalisé , notée
p B (A) est le nombre p B ( A) 

1-3Propriétés A et B deux évènements de probabilités non nulles a) p B ( A )  1  p B ( A) b) p( A  B)  p B ( A)  p( B)  p A ( B)  p( A) c) A1 et A2 deux évènements incompatibles

p B ( A1  A2 )  p B ( A1 )  p B ( A2 )
1-4 Partition Soit une expérience aléatoire d’univers des possibles Ω B 1 , B 2 , B 3 , ……….. , B n n évènements B 1 , B 2 , B 3 , ……….. , B n forment une partition de Ω si chaque B i a une probabilité non nulle ( p(B i) ≠ 0 )  deux quelconques d’entre eux sont incompatibles ( i ≠ j ,B i B j = )  leur réunion est l’univers des possibles Ω (B 1 B 2  …...  B n = Ω ) Exemple 1 A un évènement tel que p(A) ≠ 0 et A ≠ Ω A et A forment une partition de Ω Exemple 2 Dans une classe C , on peut réaliser une partition en considérant l’initiale du nom Exemple 3 Dansl’expérience tirer une boule parmi 10 boules dont 2 bleues , 5 noires et 3 rouges , les évènements « tirer une boule bleue » , « tirer une boule rouge » et « tirer une boule noire » forment une partition de l’univers des possibles Ω 1-5 Règles de construction d’un arbre pondéré Lorsqu’une situation est représentée par un arbre pondéré a) Les évènements qui se trouvent aux extrémités des branchesprimaires forment une partition de Ω b) La probabilité d’une branche primaire est la probabilité de l’évènement qui se trouve à son extrémité

p ( A  B) p( B)

Exemple 1 Un élève tire au hasard et sans la montrer une carte d’un jeu de 32 cartes , il affirme qu’elle est rouge . Quelle est la probabilité que la carte tirée soit une figure ? Exemple 2 Une urne contient 5 boules rouges et 3 boulesjaunes . On tire au hasard , successivement et sans remise deux boules de l’urne . Quelle est la probabilité de tirer deux boules rouges ? Exemple 3 Une urne contient 26 jetons sur chacun desquels est inscrite une des 26 lettres de l’alphabet . Les lettres inscrites sont toutes distinctes On tire un jeton au hasard . Quelle est la probabilité que ce soit la lettre B sachant que la lettre tirée est uneconsonne ?

Conditionnement Indépendance Page 1

D.MOUKOKO

CONDITIONNEMENT INDEPENDANCE
c) La probabilité d’une branche secondaire est la probabilité conditionnelle de l’évènement qui se trouve à son extrémité sachant que le trajet qui mène à son origine a été réalisé d) La somme des probabilités affectées aux branches issues d’un même nœud est égale à 1 e) La probabilité d’un évènementcorrespondant à un chemin est égale au produit des probabilités inscrites sur chaque branche de ce chemin f) La probabilité d’un évènement associé à plusieurs chemins est la somme des probabilités de ces chemins 1-6 Exercice a) Compléter l’arbre suivant 0,4
A D C

a) Déterminer à l’aide de cet arbre , les probabilités P(A) , PA (B) , PA (B) b) Ecrire les probabilités manquantes sur les branchesc) Calculer P( A  B) . Ecrire ce résultat sur l’arbre . Ecrire de même les probabilités des trois autres chemins d) Utiliser les résultats obtenus pour compléter le tableau B B A
A

1/12

1/3

1-8 Exercice Les données d’un exercice de probabilité ont conduit au tableau suivant B A
A B

0,3
B

E

0,2 0,3

0,4 1

0,7

F

b) Calculer p(A C ) , p(A D ) , p(B E ) ,...
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