Controle Optimal

Pages: 11 (4110 mots) Publié le: 2 septembre 2015
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DOCTORAT EXECUTIF EN MANAGEMENT DES POLITIQUES ECONOMIQUES
ISGP, ANNEE 2014/2015
Module : Contrôle Optimal et Optimisation Dynamique (27 heures)

Tous les chapitres de ce programme seront introduits par des exemples concrets et des études de
cas. De brefs rappels (académiques) seront fait à chaque fois que de besoin. On essayera de mettre le
point sur les principaux outils utilisés dans cedomaine. On donne à titre indicatif le volume horaire pour
chaque chapitre

CHAPITRE I (12H) : INTRODUCTION A LA THEORIE DU CONTROLE
1)
2)
3)
4)

Exemples introductifs
Formulation mathématique et rappels élémentaires
Contrôle Optimal A Horizon Fini
Contrôle Des Systèmes Linéaires, Principe de Pontryagin

CHAPITRE II (12H) : OPTIMISATION DYNAMIQUE
1)
2)
3)
4)

Introduction aux problèmes d’optimisationdynamique
définition de politiques optimales, de sous politiques optimales
le principe d’optimalité de Bellman
Résolution d’Exemples (Choix du tracé d’une autoroute, Course au trésor, affectation de
ressources, gestion de projets, …)

CHAPITRE III (3H): INTERACTION ENTRE CONTROLE OPTIMAL ET
OPTIMISATION DYNAMIQUE

Pr BERRACHEDI Abdelhafid

2

CHAPITRE I : INTRODUCTION A LA THEORIE DU CONTROLEI-1) Exemples introductifs (cf livre : Optimisation et contrôle des systèmes linéaires, M. Bergounioux)

Exemple1 : Economie
L’économie d’un pays est un système constitué d’une population (consommateurs-producteurs), de
compagnies, de bourses, etc. L’état de ce système est une collection de données (salaires, profits, coûts de
production, taux d’inflation, chômage, etc.). On peut agir sur ce systèmeen agissant sur les taux, en
débloquant des crédits etc. Ces systèmes sont très difficiles à modéliser du fait de leur complexité.
Exemple 2 : Stockage de l’eau dans un réservoir
Un flotteur régule le niveau de l’eau dans un réservoir. L’eau dans le réservoir est le système, le
contrôle est la position du flotteur. L’état à chaque instant est un vecteur constitué par la hauteur de l’eau
dans leréservoir h(t), le débit d’entrée et le débit de sortie de l’eau.
Exemple 3 : Stabilisation d’un véhicule
On considère un véhicule sur un rail. Il a deux moteurs, un à l’avant (pour accélérer) et l’autre à
l’arrière (pour freiner). A l’instant t=0, le véhicule est à la position p0, à la vitese v0. On veut que le
véhicule s’arrête à l’origine 0 (la vitesse y est donc nulle). Pour cela, il faut allumerles moteurs au bon
moment, d’une manière correcte et si possible optimale (minimum de temps, consommation minimale
d’énergie, …) ; imaginer une voiture lancée à 60 km/h et doit s’arrêter à un feu situé à une distance p0.
Dans ce cas, le système est le véhicule. La fonction d’état est donnée par le vecteur
x(t) = (p(t), p’(t))

(position, vitesse)

L’état initial x0 = (p0,v0) est supposé connu.
Lecontrôle u(t) est la force appliquée au véhicule, due à l’allumage des moteurs à l’instant t. Si le
moteur arrière s’allume la force est négative. La dynamique du système est donnée par la loi
fondamentale de la dynamique (force=masse*accélération) qu’on peut écrire dans cet exemple
p’’(t)=u(t) (on normalise la masse supposée constante).
L’équation d’état est :

x’(t) = (p’(t) , p’’(t)) = (p’(t), u(t))

C’est une équation différentielle dans R2. (qu’il faut résoudre ?).

Il y a des contraintes sur u dues à la taille des moteurs et à la limitation de l’accélération. Le contrôle u est
souvent choisi dans un ensemble Uad (ensemble de contrôles admissibles)
Si on peut trouver un temps t1 et un contrôle u tel que
x(t1)=(0,0) ;
on dira que u est solution et que le système est contrôlable(commandable).
Dans certains cas, pour un système contrôlable, on peut s’intéresser au plus petit temps t* (temps
optimal) qui nous ramène à l’origine, ie :
x(t*)=(0,0)

3
Le contrôle u* qui nous permet d’avoir ce temps optimal t* est appelé contrôle optimal. On a alors affaire
à un problème de contrôle optimal.
Je pense que ces exemples introduisent la terminologie utilisée dans ce domaine. Les...
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