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Baccalauréat S Métropole 15 juin 2007 (correction)E XERCICE 1
3 points
1
−
1. (P) a pour équation cartésienne : x + 2y − z + 1 = 0. Un vecteur normal à (P) est : → n 2 .
−1
−1
→
−
(P’) a pour équation cartésienne : −x + y + z = 0. Un vecteur normal à (P) est : n ′ 1 .
1
→
−′
→
−′
→
−
→
−
Alors : n .n = (1 × (−1)) + (2 × 1) + (−1 × 1) = −1 + 2 − 1 = 0 donc les vecteurs n et n sont orthogonaux. Les plans (P) et (P’) sont perpendiculaires.
2. Les deux plans étant perpendiculaires, ils se coupent selon une droite (d). Les coordonnées (x ; y ; z) des points de
(d) vérifient les deux équations des plans et sont solutions du système formé par ces deux équations x + 2y − z + 1 = 0 x + 2y = z − 1 = 0
−x + y = −z
⇔
⇔
−x + y + z
= 0
−x + y
= −z
3y
= −1
1
x = − +t
3
1
, t ∈ R qui est la représentation paramétrique de (d) donnée dans le texte.
⇔
y
=
−
3
z = t
3. Pour un plan d’équation (P) cartésienne ax +by +cz +d = 0 et un point A(xA ; y A ; zA ), la distance entre A et (P) est :
|axA + by A + czA + d|
.
d(A ; (P))= a2 + b2 + c2
2
2
On en déduit : d(A ; (P))= et d(A ; (P’))=
.
6
3
Notons H et H’ les projetés orthogonaux de A sur (P) et sur (P’). Comme les deux plans (P) et (P’) sont orthogonaux, le projeté orthogonal de H sur (P’) est confondu avec le projeté orthogonal de H’ sur (P). Le quadrilatère AHDH’ est donc un rectangle.
Soit δ la distance entre A et (d). δ est la longueur de la diagonale de ce rectangle. On applique le théorème de
2 2 2 4
2 2
+
= + = 2. D’où δ = 2.
Pythagore : δ2 =
3 3
6
3
E XERCICE 2
3 points
1. Restitution organisée de connaissances
Soient u et v deux fonctions dérivables sur [a ; b] et dont les dérivées sont continues. Alors uv est dérivable et
(uv)′ = u ′ v + uv ′ . b b
Par conséquent, u ′ v = (uv)′ −uv ′ et ce sont des fonctions continues d’où a u ′ (x)v(x) dx = a [(uv)′ (x)−u(x)v ′ (x)] dx =
2.
b b ′
′
a (uv) (x) dx − a u(x)v (x) dx (linéarité de l’intégrale) = b ′ a u(x)v (x) dx. π π
On pose I = 0 ex