CHAPITRE

2
ACTIVITÉS

Variations des fonctions associées (page 49)

Activité
1 d) On obtient deux paraboles qui sont superposables
(pour k = 0).

f) et g) Le nombre b reste constant, égal à k si k est positif et à – k sinon.
2. b) Elles ne sont pas, en général, superposables.
c) Pour k ≠ 0 : h(x) = 0 ⇔ f(x) = 0.
d) k = –1.

PROBLÈME OUVERT f(x) = –

f et g sont strictement croissantes sur I = ]0 ; + ∞[, et h est strictement décroissante sur I.

1
1
= g(x). Alors h(x) = 2 . x x

EXERCICES

Application (page 54)

x
+ 1 у 0 ⇔ x у – 3 ⇔ x ∈ I = [– 3 ; + ∞[.
3
x
b) u : x ‫ ۋ‬+ 1 est une fonction affine strictement crois3 sante sur I. Les fonctions u et 1u ont le même sens de variation : f est donc strictement croissante sur I.

1

a)

2 a) – x + 3 у 0 ⇔ x р 3 ⇔ x ∈ I = ]– ∞ ; 3].
b) u : x ‫ – ۋ‬x + 3 est une fonction affine strictement décroissante sur I. Les fonctions u et 1u ont le même sens de variation : f est donc strictement décroissante sur I.
3

a) Pour tout x, 2x2 + 1 у 0, donc f est définie sur ‫ ޒ‬et donc en particulier sur I = [0 ; + ∞[.
b) u : x ‫ ۋ‬2x2 + 1 est une fonction strictement croissante sur I. Les fonctions u et 1u ont le même sens de variation : f est donc strictement croissante sur I.

4

a) Pour tout x, |x| у 0, donc f est définie sur ‫ ޒ‬et donc en particulier sur I = ]– ∞ ; 0].

20

b) Pour tout x ∈ ]– ∞ ; 0], |x| = – x. u : x ‫ – ۋ‬x est strictement décroissante sur I.
Les fonctions u et 1u ont même sens de variation : f est donc strictement décroissante sur I.
1
1 у 0 ⇔ у –1 ⇔ x р –1 x x
⇔ x ∈ I = ]– ∞ ; –1].
1
1
b) Sur I, les fonctions x ‫ ۋ‬et x ‫ ۋ‬+ 1 sont strictement x x décroissantes : f est donc strictement décroissante sur I.

5

a) 1 +

x+3 est une fonction affine strictement
2
croissante sur I = [– 3 ; + ∞[, f est donc strictement croissante sur I. x –3
–1
5
+∞

6

u : x ‫ۋ‬

f(x)
0

1

4

Si x ∈ [–1 ; 5], alors

8 x +2