Convolution
Corrélation

Convolution
Corrélation

Plan du cours

Cours de Traitement Du Signal Convolution/corrélation

1

Convolution

2

Corrélation

guillaume.hiet@rennes.supelec.fr
ESTACA

6 septembre 2007

Guillaume HIET

Guillaume HIET

Cours de Traitement Du Signal - Convolution/corrélation 1/10

Convolution
Corrélation

Cours de Traitement Du Signal - Convolution/corrélation 2/10

Convolution
Corrélation

Définition

Propriétés

Le produit de convolution exprime la quantité de recouvrement d’une fonction y lorsqu’on la déplace sur une autre fonction x : c’est un mélangeur de fonction. C’est un outil important en
TDS (filtrage...)

Commutativité changement variable τ = t − u
⇒ z(t) =

+∞
−∞

x(t − u).y (u)du

x(t) ⊗ y (t) = y (t) ⊗ x(t)

Signal continu z(t) = x(t) ⊗ y (t) =

+∞
−∞

x(τ ).y (t − τ )dτ

Signal discret

Distributivité
[x1 (t) + x2 (t)] ⊗ y (t) = x1 (t) ⊗ y (t) + x2 (t) ⊗ y (t)
Associativité

n=+∞

z[k ] = x[k ] ⊗ y [k ] =
Guillaume HIET

n=−∞

x[n].y [k − n]

Cours de Traitement Du Signal - Convolution/corrélation 3/10

[x1 (t) ⊗ y1 (t)] ⊗ y2 (t) = x1 (t) ⊗ [y1 (t)] ⊗ y2 (t)]

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Cours de Traitement Du Signal - Convolution/corrélation 4/10

Convolution
Corrélation

Convolution
Corrélation

Exemple

Définition

Mesure énergétique de la similitude de forme et de position entre deux signaux décalés. La définition dépend du type de signal Guillaume HIET

Cours de Traitement Du Signal - Convolution/corrélation 5/10

Guillaume HIET

Convolution
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Cours de Traitement Du Signal - Convolution/corrélation 6/10

Convolution
Corrélation

Signaux à énergie finie

Signaux à énergie finie

Autocorrélation
0
Rxx
(τ ) =

+∞
−∞

x(t).x(t − τ )dt

Propriétés pour les signaux réels
0 (τ ) = R 0 (−τ )
Ryx
xy
0 (τ ) = R 0 (−τ ) autocorrélation paire
Rxx
xx

Intercorrélation
0
Rxy
(τ ) =

+∞
−∞

x(t).y (t − τ )dt

0 (τ )|2
|Ryx
0 (τ )
Rxx

0 (τ ).R 0 (τ )
Rxx
yy
0 (0) (E )
Rxx
Tot

0 (τ ) = 0 ⇒ signaux totalement décorrélés, signaux
Rxy