maths

Pages: 30 (7488 mots) Publié le: 3 janvier 2015
Exo7
Séries entières
Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr
* très facile

** facile

*** difficulté moyenne **** difficile
I : Incontournable

***** très difficile

Exercice 1 **
Déterminer le rayon de convergence de la série entière proposée dans chacun des cas suivants :
n n
1. ∑+∞
n=1 (ln n) z
√ n n
2. ∑+∞
n=1 ( n) z
2 n
3. ∑+∞n=0 (ln(n!)) z

4. ∑+∞
n=1
5. ∑+∞
n=1
6. ∑+∞
n=1
7. ∑+∞
n=0

1
2

ch 1n + cos 1n

n
C2n
n
nn z
(ln(n!))a n
z
n!b
n
a
n
1+bn z , (a, b)

n4 n
z

∈ (R∗+ )2

Correction

[005745]

Exercice 2
Calculer les sommes suivantes dans leur intervalle ouvert de convergence après avoir déterminé le rayon de
convergence de la série proposée.
1
n
1) (**) ∑+∞
n=2 n(n−1)x
4n

n

3n n
2) (**) ∑+∞
n=0 n+2 x

x
3) (** I) ∑+∞
n=0 2n+1

n
n
4) (**) ∑+∞
n=0 (2n+1)! x
2

n
1
n +4n−1 n
n
7) (** I) ∑+∞
7) ∑+∞
n=1 ∑k=1 k x
n=0 n!(n+2) x
(−1)n xn
2
n+1 xn
n+1 nx2n+1
n x4n−1
11) (**) ∑+∞
12) (**) ∑+∞
9) (** I) ∑+∞
10) (*) ∑+∞
n=0 (n + 1)2
n=0 (−1)
n=1 n
n=1 (−1) 4n
+∞
n
13) (***) ∑n=0 an x où a0 = a1 = 1 et ∀n ∈ N,
an+2 = an+1 + ann
14) (**) ∑+∞
n=0 an x où an est le nombre de couples (x, y) d’entiers naturels tels que
x + 5y = n.
x
5) (*) ∑+∞
n=0 (4n)!

n
6) (**) ∑+∞
n=0 (ch n)x

Correction

[005746]

Exercice 3
Développer en série entière les fonctions suivantes :
1
1) (*) (x−1)(x−2)
x sin a
4) (**) arctan 1−x
cos a , a ∈]0, π[
x
2
7) (*) 0 cos(t ) dt

1
,t ∈R
2) (*** I) x2 −2tx+1
1
5)(**) (x−1)(x−2)...(x−p)
x
dt
8) (*** I) −∞
t 4 +t 2 +1

1

3) (*) ln(x2 − 5x + 6)
6) (*** I) (arcsin x)2
9) (**) cos x ch x.

Correction

[005747]

Exercice 4 * I
Pour x réel, on pose f (x) =

sin x
x

si x = 0
. Montrer que f est ce classe C∞ sur R.
1 si x = 0

Correction

[005748]

Exercice 5 *** I
k

Soient Pn = ∑nk=0 Xk! et R > 0 donné. Montrer que pour nsuffisamment grand, Pn n’a pas de racine dans le
disque fermé de centre 0 et de rayon R.
Correction

[005749]

Exercice 6 **** Inverse d’une série entière
n
Soit ∑+∞
n=0 an z une série entière de rayon R > 0 et telle que a0 = 1 (ou plus généralement a0 = 0).
1. Montrer qu’il existe une et une seule suite (bn )n∈N telle que ∀n ∈ N, ∑nk=0 ak bn−k = δ0,n .
n
2. Montrer que la série entière ∑+∞n=0 bn z a un rayon strictement positif.

Correction

[005750]

Exercice 7 *** I
Pour n ∈ N, on pose Wn =
(Wn )n∈N .

π/2
cosn t
0

dt. Rayon de convergence et somme de la série entière associée à la suite

Correction

[005751]

Exercice 8 ***
1
Calculer ∑+∞
n=1 n cos

2nπ
3

xn pour x dans ] − 1, 1[.

Correction

[005752]

Exercice 9 *** I
n

n

+∞
+∞ (−1)x
1
Calculer ∑+∞
n=0 4n2 −1 pour x dans ] − 1, 1[ et en déduire les sommes ∑n=0 4n2 −1 et ∑n=0 4n2 −1 .

Correction

[005753]

Exercice 10 ****
Pour n entier naturel, on pose un =
général un .

(−1)n
2n+1

1
. Convergence et somme de la série (numérique) de terme
∑nk=0 4k+1

Correction

[005754]

Exercice 11 ***
Soit A une matrice carrée complexe de format p ∈ N∗ . Rayonde convergence et somme en fonction de χA de
n n
la série entière ∑+∞
n=0 Tr(A )z .
Correction

[005755]

Exercice 12 ***
2

2

Pour x réel, on pose F(x) = e−x 0x et dt. En développant F en série entière par deux méthodes différentes,
montrer que pour tout entier naturel n,
2n

1
2 n!
= (−1)n (2n+1)!
.
∑nk=0 (−1)n−k (2k+1)k!(n−k)!

2

Correction

[005756]

Exercice 13**
an+1 = −an − 2bn
an n
. Rayons et sommes de ∑+∞
n=0 n! x
bn+1 = 3an + 4bn

On pose a0 = 1 et b0 = 0 puis pour tout entier naturel n,
bn n
et ∑+∞
n=0 n! x .

Correction

[005757]

Exercice 14 *** I
1 n
Rayon de convergence et somme de ∑+∞
n=1 nCn x .
2n

Correction

[005758]

Exercice 15 *** I
Soient (an )n∈N et (bn )n∈N deux suites de réels strictement positifs...
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