Devoir physique arc-en-ciel

Pages: 5 (1097 mots) Publié le: 27 mai 2013
D.L.3 sur chap.2 d'optique

année scolaire 2012/2013 Un faisceau de rayons ∥ dans l'air éclaire une boule d'eau d'indice n ; les rayons pénètrent dans la boule au point d'incidence A sous l' angle d'incidence correspondant i  1 et en ressortent après avoir subi p réexions intérieures ; l'angle que fait un rayon émergent de la boule par rapport au rayon incident correspondant est appelé déviation D  (et il est bien sûr algébrisé).

Devoir en temps libre n3
à rendre pour le jeudi

26

novembre

2012.

I Étude de la déviation D en fonction de i :
4 ≃ 1, 33 . 3

Le faisceau lumineux est monochromatique et l'indice de l'eau est  n =

Arcs-en-ciel :

I.1 Expression de D en fonction de i, p et  r angle de réfraction associé à l'incidence i  :
Montrer que ladéviation D des rayons lumineux peut s'exprimer en fonction de  p ,  i  et  r (angle de réfraction correspondant à l'angle d'incidence i)  selon  D = p π + 2 (p + 1) r − 2 i  2 .

I.2 Étude de D = D(i) et détermination de l'angle d'incidence  ±im  pour lequel D est extrémale :
 r  étant fonction de  i  on déduit, de l'expression du Ÿ précédent, que  D = D(i)  ; évaluer   enfonction de i, p et n et di démontrer que D passe par un extrémum pour deux valeurs opposées de i "s # notées  ±im  3 t.q.  im = arcsin
(p + 1) − n2
2 2

dD

(p + 1) − 1 calculer numériquement en degrés im et  Dm (im ) ainsi que Dm (−im )  pour  p = 1 et p = 2  4 .

;

1.  i  est algébrique, de valeur ne dépendant que de A et de signe dépendant de la position de A relativement à ladirection du faisceau passant par O centre de la boule ! 2. on rappelle que D est orienté  le sens + choisi est le sens direct ou (anti-horaire) c.-à-d. tel que i est positif sur le schéma du texte  et déni à 2 π près ! 3. avec  im > 0  ! 4. il sera judicieux de retirer 360 à la déviation dans le cas p = 2 pour avoir une détermination comprise entre −360et 360!
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D.L.3 sur chap.2d'optique

année scolaire 2012/2013
Ê

I.3 Maximum d'énergie émergente autour de la déviation extrémale Dm (±im ) :
Les rayons du faisceau parallèle incident ont un angle d'incidence i dépendant de leur point d'incidence sur la boule (point d'incidence A) ; vérier sur un schéma que les rayons incidents d'un tel faisceau parallèle ressortent  après une réexion 5  non parallèles 6 ; lesrayons ayant un angle d'incidence de valeur  i  restant au voisinage d'une valeur xée  i0  7 sont déviés d'un angle D(i)  diérant (en général) de D(i0 ) d'un ordre un  8 . Justier que ce sont les rayons ayant un angle d'incidence de valeur  i  restant au voisinage de  ±im , qui fourniront des rayons émergeant parallèlement entre eux, alors que les rayons ayant un angle d'incidence devaleur  i  restant au voisinage de  i0 ̸= ±im , fourniront des rayons émergeant non parallèlement entre eux ; cela se traduit physiquement par des pics de  diusion  (c.-à-d. des accumulations d'énergie lumineuse) dans la direction d'un extremum de déviation  les rayons émergeant dans cette direction sont donc nettement plus visibles que ceux émergeant dans toute autre direction et à lalimite, on ne voit qu'eux.

2 dDm en déduire que  (±im ) = ∓ dn n

(p + 1) − n2 . n2 − 1

2

II.2 Description des deux arcs-en-ciel :
p = 1 et à p = 2 (ces dernières étant toutefois moins visibles), les accumulations correspondant à p 3 étant d'intensité trop faible pour être observables.

En pratique, on n'observe que les accumulations de lumière correspondant à

II Application auxarcs-en-ciel :
Le faisceau lumineux incident est la lumière blanche émise par le Soleil ; comme l'eau est dispersive, son indice n varie avec la longueur d'onde dans le vide λ0 , et par suite im et Dm (±im ). On admettra que n varie de  nviolet = 1, 343  à  nrouge = 1, 329  entre les extrémités violette et rouge du spectre visible.

Justier, dans les conditions expérimentales optimales,...
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