Lycée Blaise Pascal MPSI 1 - 2021/2022
MATHÉMATIQUES
Devoir n°8
Correction
Exercice 1 Voir la correction du TD 23.
Problème 1 :
Partie 1 : Étude des applications f et φ.
1. a) Soient (P,Q) ∈ R2[X]2 et (λ, µ) ∈ R2. On a f(λP + µQ) =
1
2
[
(λP + µQ)
(
X
2
)
+ (λP + µQ)
(
X + 1
2
)]
=
1
2
[ λP (
X
2
)
+ µQ
(
X
2
)
+ λP
(
X + 1
2
)
+ µQ
(
X + 1
2
)]
=
λ
2
[
P
(
X
2
)
+ P
(
X + 1
2
)]
+
µ
2
[
Q
(
X
2
)
+Q
(
X + 1
2
)]
= λf(P ) + µf(Q).
Comme f est à valeurs dans R2[X], l’application f est un endomorphisme …afficher plus de contenu…

(1)
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Partie 3 Une autre expression de fn
1. a) Pour tout x ∈ R, on a f1(x) = x3 2
∫ 1
0
(1 − t2) cos(xt)dt. Si x ̸= 0, à l’aide d’une intégration par partie, en posant
{
u′(t) = cos(xt) v(t) = 1− t2 de telle sorte que
{
u(t) = 1 x sin(xt) v′(t) = −2t
, il vient
∫ 1
0
(1− t2) cos(xt)dt =
[
1− t2 x sin(xt)
]1
0
−
∫ 1
0
−2t x sin(xt)dt =
2
x
∫ 1
0
t sin(xt)dt.
À l’aide d’une nouvelle intégration par parties, en posant
{
u′(t) = sin(xt) v(t) = t de telle sorte que{ u(t) = − 1 x cos(xt) v′(t) = 1
, il vient
∫ 1
0
t sin(xt)dt =
[
− t x cos(xt)
]1
0
−
∫ 1
0
− 1 x cos(xt)dt = −cos(x) x +
1
x
∫ 1
0
cos(xt)dt
= −cos(x) x +
1
x
[
1 x sin(xt)
]1
0 …afficher plus de contenu…

En utilisant les notations de la partie 3, on peut alors réécrire
In = qn
A2n
(π
2
) cos (π
2
)
︸ ︷︷ ︸
=0
+B2n
(π
2
)
sin
(π
2
)
︸ ︷︷ ︸
=1
 = qnB2n
(π
2
)
.
Or, on a prouvé dans la partie 3 que B2n est un polynôme pair à coefficients entiers avec deg(B2n) ⩽ 2n donc on déduit de la question 2a qu’il existe P ∈ Rn[X] à coefficients entiers tel que B2n(X) = P (X2). Comme deg(P ) ⩽ n, il existe (a0, ..., an) ∈ Zn+1 tel que
P (X) = n∑ k=0 akX k.
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Il s’ensuit
In = qnB2n
(π
2
)
= qnP
((π
2
)2)
= qnP
(
p q )
= qn n∑ k=0 ak ( p q
)k
= n∑ k=0 ak︸︷︷︸ ∈Z pk︸︷︷︸ ∈Z qn−k︸ ︷︷ ︸
∈Z
= a0q n + a1q n−1p+ a2q n−2p2 + · · ·+ an−1qp n−1 + anp n ∈