Dissertation le rir

Pages: 5 (1116 mots) Publié le: 14 mars 2013
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Valeurs propres et vecteurs propres des matrices






L'objet "matrice 2x2"(rappel) 2
Valeurs propres et vecteurs propres d’une matrice 2x2 3
Vecteur propre associé à une valeur propre 4
Valeurs propres de matrices particulières 5
Vecteurs propres associés à une matrice diagonale 6
Matrice de passage d’une matrice à 2 valeurs propres 7
Matriceinversible (rappel) 8
La matrice de passage est inversible 9
La puissance d’une matrice à deux valeurs propres 10



Objectif
Les informations qui vont être données seront utilisées pour l’étude des suites récurrentes et les processus de Markov.


L'objet "matrice 2x2"(rappel)

Une matrice A est de type 2(2 si [pic](2 lignes et 2 colonnes).
Les attributs de A
1) La trace de A : [pic]
2)Le déterminant de A : [pic]
3) Le polynôme caractéristique de A : [pic]
4) Le spectre de A :[pic]
[pic]Ces attributs permettent entre autre de calculer systématiquement [pic]
Exemple [pic]
[pic]
PROPRIETE (Théorème de Cayley-Hamilton appliqué au cas 2[pic])
O est la « matrice nulle » : [pic]I est la « matrice identité »: [pic]
Pour la matrice [pic]on a toujours:
[pic]
« On remplace[pic]par la matrice A dans le polynôme caractéristique de A »
Conséquence
[pic]
Exercice
1) Vérifier [pic]
2) Ecrire un algorithme qui calcule la puissance n d'une matrice en utilisant la conséquence du théorème de Cayley-Hamilton.


Valeurs propres et vecteurs propres d’une matrice 2x2

[pic]
Valeur propre de la matrice A (définition)
Une valeur propre de la matrice A est un nombre[pic]tel que l’on puisse trouver une colonne [pic]qui vérifie :
[pic]
Recherche des valeurs propres de la matrice A

On cherche [pic]tel qu’il existe [pic]qui vérifie [pic]c'est-à-dire :
[pic]
Nous avons appris que ce système possède une solution[pic]si et seulement si son déterminant est nul[pic]
[pic]
On trouve :
[pic]
Propriété
Les valeurs propres de la matrice A sont les racines deson polynôme caractéristique.
L’ensemble des valeurs propres de A est le spectre de A[pic]
Exercice
Trouver les valeurs propres des matrices :
[pic]

Vecteur propre associé à une valeur propre

[pic]
1) On suppose [pic] possède 2 valeurs propres [pic]
1[pic]est un vecteur propre de A associé à la valeur propre [pic]si :
[pic]
1[pic]est un vecteur propre de A associé à la valeur propre[pic]si :
[pic]
Pour trouver [pic] et [pic]on résout les deux systèmes :
[pic]
[pic]

1[pic]sont des valeurs propres de A [pic][pic]
1donc ces deux systèmes possèdent une infinité se solutions.
2) On suppose [pic]possède une seule valeur propre [pic]
1[pic]est un vecteur propre de A associé à la valeur propre [pic]si
[pic]On résout le système[pic]
1ce système possède une infinité desolutions car son déterminant est nul.
Exercice [pic]
Trouver un vecteur propre associé à chaque valeur propre de M et un vecteur propre associé à la valeur propre de N.

Valeurs propres de matrices particulières


[pic]
Matrice diagonale [pic]
Une telle matrice est dite «matrice diagonale» (sa diagonale montante est nulle).
D vérifie :
[pic]
1) Si[pic] la matrice diagonale [pic]admetdeux valeurs propres a et d.
2) Si[pic] la matrice diagonale [pic]admet une seule valeur propre a.
Matrice à diagonale montante [pic]
Une telle matrice ne porte pas de nom spécifique ; on peut dire qu’elle «est à diagonale montante » (sa diagonale descendante est nulle).
E vérifie :
[pic]
1) Si [pic][pic]admet les deux valeurs propres réelles [pic]
2) Si [pic] [pic]admet les deux valeurspropres complexes [pic]
3) Si [pic] [pic]admet 0 pour seule valeur propre.
Remarque [pic]
Exercice
Trouver les matrices [pic]
Vérifier que S et T ont les mêmes valeurs propres à savoir :
[pic]


Vecteurs propres associés à une matrice diagonale


Matrice diagonale [pic][pic]
1) Si[pic] la matrice diagonale [pic]admet deux valeurs propres a et d.
Vecteurs propres associés...
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