` Algebre et Arithm´tique e Universit´ de Nice Sophia-Antipolis e

Math´matiques L3 e Ann´e 2008-2009 e

´ FEUILLE DE TRAVAUX DIRIGES 1
RAPPELS SUR LES GROUPES, ANNEAUX ET CORPS

1. Groupes D´finition 1 (Groupe). Un groupe (G, ⋆, e) est un ensemble G muni d’une loi de composition e • la loi ⋆ est associative, i.e. (x ⋆ y) ⋆ z = x ⋆ (y ⋆ z), pour tout x, y, z ∈ G, • il existe un ´l´ment neutre e, i.e. x ⋆ e = e ⋆ x = x, pour tout x ∈ G, ee • tout ´l´ment a un inverse, i.e. pour tout x ∈ G il existe y ∈ G tel que x ⋆ y = y ⋆ x = e ee Lorsque la loi ⋆ est commutative, on parle de groupe commutatif ou de groupe ab´lien. e D´finition 2 (Sous-groupe). Un sous-groupe d’un groupe G est un sous-ensemble H ⊂ G tel que e interne ⋆ : G × G → G telle que

e ∈ H et la restriction de la loi ⋆ ` H lui conf`rent une structure de groupe. a e

Proposition 1. Soit G un groupe et H ⊂ G un sous-ensemble. L’ensemble H est un sous-groupe de G si et seulement si H = ∅ et pour tout couple (x, y) ∈ H 2 , on a x ⋆ y −1 ∈ H. de groupes est une application ϕ : G → G′ telle que ϕ(x ⋆ y) = ϕ(x) ⋆′ ϕ(y). Le noyau d’un morphisme de groupes ϕ est ´gal ` e a Ker ϕ := ϕ−1 ({e′ }) = {x ∈ G; ϕ(x) = e′ }. Exercice 1 (Injectivit´ et noyau). Montrer qu’un morphisme de groupes f : G → G′ est injectif, e c’est-`-dire f (x) = f (y) implique x = y, si et seulement si le noyau de f est ´gal ` {e}. a e a Exercice 2 (Le cercle unitaire). (1) Montrer que l’application R → GL2 (R) est un morphisme de groupes. (2) Quelle est son image ? (3) Quel est son noyau ? (4) D´terminer un isomorphisme de groupes de SO(2) sur U := {z ∈ C ; |z| = 1}. e Exercice 3 (Union et intersection de sous-groupes). Soit un G un groupe et soient H1 et H2 deux sous-groupes de G.
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D´finition 3 (Morphisme de groupes). Soient (G, ⋆, e) et (G′ , ⋆′ , e′ ) deux groupes. Un morphisme e

;

θ→

cos θ sin θ

− sin θ cos θ

(1) Montrer que, pour que l’union H1 ∪ H2 soit un sous-groupe de G, il faut que H1 ⊂ H2 ou que H2 ⊂ H1 .