Dmmath
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Exercice 1 : (…… points) Liban, Juin 2000Partie A - Étude d’une suite
On considère la suite (un) définie par u0 = 900 et, pour tout entier naturel n, un+1 = 0,6 un + 200.
1. Calculer u1 et u2.
2. On considère la suite (vn) définie, pour tout entier naturel n, par vn = un − 500.
a. Démontrer que (vn) est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison.
b. Exprimer vn en fonction de n. En déduire que un = 400 x (0,6)n + 500.
c. Déterminer la limite de la suite (un).
Partie B - Application économique
Dans un pays, deux sociétés A et B se partagent le marché des télécommunications. Les clients souscrivent, le 1er janvier, soit auprès de A, soit auprès de B, un contrat d’un an au terme duquel ils sont libres à nouveau de choisir A ou B.
Cette année 2000, la société A détient 90% du marché et la société B, qui vient de se lancer, 10%. On estime que, chaque année, 20% de la clientèle de A change pour B, et de même 20% de la clientèle de B change pour A. On considère une population représentative de 1000 clients de l’année 2000. Ainsi, 900 sont clients de la société A et 100 sont clients de la société B.
On veut étudier l’évolution de cette population les années suivantes.
1. a. Vérifier que la société A compte 740 clients en 2001. Calculer le nombre de clients de A en 2002.
b. On note an le nombre de clients de A l’année (2000 + n).
Établir que an+1 = 0,8 an + 0,2 (1000 − an).
En déduire que an+1 = 0,6 an + 200.
2. En utilisant le résultat de la partie A, que peut-on prévoir pour l’évolution du marché des télécommunications dans ce pays
Exercice 1 : Liban, Juin 2000
Partie A - Étude d’une suite
1. u1 = 0,6 x 900 + 200 = 740 u2 = 0,6 x 740 + 200 = 644
2. a. vn = un − 500 vn+1 = un+1 − 500 vn+1 = 0,6 un + 200 − 500 vn+1 = 0,6 un - 300 vn+1 = 0,6 (un – 500) vn+1 = 0,6 vn De plus, v0 = u0 − 500 = 900 – 500 = 400 donc la suite (vn) est une suite géométrique de premier terme v0 = 400 et de raison 0,6.