Exercice 3 :
On considère la suite (un ) définie par : un+1 = −0, 5un + 5

u0 = 50

On considère également la suite (vn ) définie par : vn = un −

10
3

1. Remarquons d’abord que pour tout entier n ∈ N, vn = un −

10
10
⇐⇒ un = vn +
3
3

Ensuite, soit n ∈ N : vn+1 = un+1 −

10
3

10
3
15 10
10
+
−
= −0, 5 vn +
3
3
3
1 10 5
= −0, 5vn − ×
+
2
3
3
5 5
= −0, 5vn − +
3 3
= −0, 5vn
= −0, 5un + 5 −

(vn ) est donc une suite géométrique de raison q = −0, 5 et de premier terme : v0 = u0 −

150 10
140
10
=
−
=
3
3
3
3

2. (vn ) étant une suite géométrique, on peut appliquer la formule explicite des suites géométriques. Pour tout n ∈ N, vn = v0 × q n
140
=
× (−0, 5)n
3
3. Pour tout n ∈ N, un = vn +
=

10
3

140
10
× (−0, 5)n +
3
3

1

Exercice 4 :
On considère la suite (un ) définie par : u0 =

1
2

un+1 =

3un
1 + 2un

On considère également la suite (vn ) définie par : un vn =
1 − un
1. Soit n ∈ N :
3u

vn+1

n un+1 1+2un
=
=
3un =
1 − un+1
1 − 1+2u n 3un
1+2un
1+2un
1+2un

−

3un
1+2un

=

3un
1+2un
1−un
1+2un

3un
1 + 2un
×
1 + 2un
1 − un
3un
=
1 − un un =3×
1 − un
= 3vn
=

(vn ) est donc une suite géométrique de raison q = 3 et de premier terme :
0, 5 u0 =
=1
1 − u0
1 − 0, 5

v0 =

2. (vn ) étant une suite géométrique, on peut appliquer la formule explicite des suites géométriques. Pour tout n ∈ N, vn = v0 × q n = 3n
3. Remarquons d’abord que pour tout n ∈ N 1 , un 1 − un vn (1 − un ) = un vn − vn un = un vn = un + vn un vn = un (1 + vn ) vn = un
1 + vn

vn =

En utilisant l’expression de vn en fonction de n, on obtient pour tout entier n ∈ N, un =

vn
3n
=
1 + vn
1 + 3n

1. Pour répondre à la question, il faut trouver une expression de un en fonction de vn , autrement dit, il faut "retourner" l’expression de vn en fonction de un .

2