Lors d’un jeu, Marc doit répondre à la question suivante : « Le premier jour, nous vous offrons 100 € puis chaque jour suivant, nous vous offrons
5 % de plus que la veille et une somme fixe de 20 €. Au bout de combien de jours aurez-vous gagné 10 000 € ? ».
Nous allons voir comment on peut aider Marc à répondre à cette question. 1) Pour tout entier naturel n non nul, on note un le montant total en euros versé à Marc le n-ième jour. Ainsi, u0 = 100.
a) Calculer u1.
b) Justifier que, pour tout entier naturel n non nul, un+1 = 1,05 un + 20.
2) Pour tout entier naturel n non nul, on pose vn = un + 400.
a) Calculer v0.
b) Démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique et préciser sa raison.
c) Exprimer vn en fonction de n puis en déduire que un = 500 × 1,05n – 400.
d) Déterminer en fonction de n, la somme sn = v0 + v2 + … + vn, puis la somme Sn = u0 + u2 + … + un.
Calculer S10. A quoi correspond cette somme ?
3) Quelle réponse Marc doit-il donner ? Justifier.
4) On donne l’algorithme suivant :
Entrées :
Traitement :

Afficher :

N un entier ; U un réel
Pour K allant de 1 à N – 1
Affecter à U la valeur U×1,05
Fin du pour
U

a) Faire fonctionner cet algorithme pour N = 4 et U = 100. (Donner dans un tableau ; les résultats obtenus au fur et à mesure pour U, suivant les valeurs de K.)
Que permet d’obtenir cet algorithme ?
b) Transformer l’algorithme proposé pour qu’il affiche en sortie finale la valeur u6, pour U = 100 et N = 6.

Lors d’un jeu, Marc doit répondre à la question suivante : « Le premier jour, nous vous offrons 100 € puis chaque jour suivant, nous vous offrons
5 % de plus que la veille et une somme fixe de 20 €. Au bout de combien de jours aurez-vous gagné 10 000 € ? ».
Nous allons voir comment on peut aider Marc à répondre à cette question. 5) Pour tout entier naturel n non nul, on note un le montant total en euros versé à Marc le n-ième jour. Ainsi, u0 = 100.
c) Calculer u1.
d) Justifier que, pour tout entier naturel n non nul, un+1 = 1,05 un + 20.
6)