Duration
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DURATIONLa duration d'une obligation touchant les flux [pic]lors des périodes restantes, est donnée par la formule suivante, où [pic]est l'intervalle de temps, exprimé en années, séparant la date d'actualisation [pic]de la date [pic]du flux : [pic] avec [pic]le taux actuariel de l'obligation tel que le prix observé [pic]de l'obligation corresponde à la valeur actualisée de celle-ci. Il est la solution de l'équation : [pic]
On remarque (cf. ci-dessus, Confusions à éviter) que la mesure du risque de taux instantané, [pic]s'exprime certes en fonction de la duration [pic] mais en est bien différente.
Autrement dit, la duration est l'élasticité (au signe près) du prix de l'obligation au taux actuariel : [pic] [pic]
SENSIBILITE
La sensibilité est donnée par la formule suivante : [pic] avec : [pic]le prix de l'obligation, [pic]le flux (coupon et capital) de la période [pic], [pic]est l'intervalle de temps, exprimé en années, séparant la date d'actualisation de la date du flux [pic] [pic]le taux actuariel de l'obligation.
On remarque que la sensibilité peut s'exprimer en fonction de la duration [pic] : [pic]
CONVEXITE
La convexité (en anglais : bond convexity) est un indicateur du risque de taux lié à un instrument à taux fixe, comme une obligation, qui complète la sensibilité ou la duration
En utilisant le théorème de Taylor, on peut approcher la variation du prix d'une obligation en fonction de son taux actuariel. [pic]
Avec : • [pic]le taux actuariel, • [pic]le prix de l'instrument en fonction du taux actuariel, • [pic]la dérivée du prix de l'instrument par rapport au taux actuariel. • [pic]la dérivée seconde du prix de l'instrument.
[pic]
[pic]
Soit en utilisant la définition de la sensibilité S.
[pic]
Et avec la définition suivante de la convexité [pic]
On peut écrire:
[pic]
Le terme convexité est utilisé car le signe de cette valeur détermine la