Chapitre 3

Dérivées et primitives

I- Rappels sur la dérivation
1) Nombre dérivé
Définition

Soit f une fonction définie sur un intervalle I , et a un nombre de I .

f a  h   f a  admet h une limite finie quand h tend vers 0. Cette limite est alors notée f ' a  , et appelée le nombre dérivé de f en a.

On dit que f est dérivable en a si le taux d’accroissement de f entre a et a  h : f a  h   f a  h

f ' a   lim h0 Si f est dérivable en a , alors la courbe représentative de f admet une tangente T  au point d’abscisse a , de coefficient directeur f ' a  . Equation de la tangente : y  f a   f ' a   x  a  2) Fonction dérivée a) Définition
Définition

Soit f une fonction définie sur un intervalle I . Si f est dérivable en a pour tout réel a de I , on dit que f est dérivable sur I . La fonction qui, à tout nombre réel x de I fait correspondre le nombre dérivé de f en x est appelée la fonction dérivée de f . On la note f ' . Remarque : La courbe d’une fonction dérivable est « lisse », régulière, « sans angle ».

Fonction dérivable sur son ensemble de définition

Fonction dérivable partout sauf en 3 et en 6

Fonction dérivable nulle part (mais continue partout)

b) Dérivée des fonctions de référence Fonction définie par Fonction dérivée définie par ( ) ( ) k (constante) 0 x n ( n ) 1 x x nx n 1

Ensemble de dérivabilité   si n  0 , * si n  0 , *



1 x2 1

sin x cos x tan x

2 x cos x  sin x
1  1  tan 2 x 2 cos x

0;
   \{ k , k }

c) Opérations sur les fonctions dérivables Fonction uv ku ( k ) uv 1 v u v 3) Signe de la dérivée et sens de variation
Théorème

Fonction dérivée u'v' ku' u' v  uv' v'  2 v u ' v  uv' v2

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I .    Si pour tout réel x de I , f ' x   0 , alors f est croissante sur I . Si pour tout réel x de I , f ' x   0 , alors f est constante sur I . Si pour tout réel x de I , f ' x   0 ,