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Lundi 17 mai – 1h00

Corrigé du devoir surveillé n°8
Fonction dérivée – Fonctions de deux variables
E XERCICE 8.1 (3 points).
Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes :
• g (x) = (x 2 + 4x + 3)3

• f (x) = (2x + 3) x
• f = u × v avec u(x) = 2x + 3 et v (x) = x or f ′ = u ′ v + uv ′ .
Comme u ′ (x) = 2 et v ′ (x) = 1 alors f ′ (x) = 2 x + (2x + 3) 1 .
2 x

2 x

• g = u 3 avec u(x) = x 2 + 4x + 3 or g ′ = 3u ′ u 2 .

2

Comme u ′ (x) = 2x + 4 alors g ′ (x) = 3(2x + 4) x 2 + 4x + 3 .

E XERCICE 8.2 (3 points).
La courbe C de la figure ci-contre est une partie de la courbe représentative, relativement à un repère orthogonal, d’une fonction f définie et dérivable sur R.
On donne les renseignements suivants :

3

1

A

• la courbe admet une tangente horizontale au point

−2 −1 O
−1

1

2

d’abscisse 1 ;
• le point B(2; 1) appartient à C ;
• la tangente à la courbe C au point B passe par le point C (4; 0) ;

B
C
2

3

×

4

5

−2
−3

1. Déterminer graphiquement f (2), f ′ (1) et f ′ (2).
• Le point B(2; 1) appartient à C donc f (2) = 1.
• La courbe admet une tangente horizontale au point d’abscisse 1 donc f ′ (1) = 0 car c’est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse 1. y −y
• La tangente à la courbe C au point B passe par le point C (4; 0) donc son coefficient directeur vaut f ′ (2) = xC −xB = 0−1
4−2 =
C

− 21 .

B

2. Une des représentations graphiques ci-dessous, représente la fonction dérivée f ′ de f . En justifiant votre choix à l’aide d’arguments basés sur l’examen des représentations graphiques, déterminer la courbe associée à la fonction f ′.
Les variations de f donnent le signe de f ′ (x) : x 1

−∞

+∞

Variations de f
Signe de f ′ (x)

0

+

−

Donc la courbe de f ′ ne peut pas être la courbe C 2 , mais peut très bien être une des deux autres courbes. Il faut un argument supplémentaire. On sait que f ′ (2) =