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Pages: 8 (1919 mots) Publié le: 25 novembre 2014
Nom :

Lundi 17 mai – 1h00

Corrigé du devoir surveillé n°8
Fonction dérivée – Fonctions de deux variables
E XERCICE 8.1 (3 points).
Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes :
• g (x) = (x 2 + 4x + 3)3

• f (x) = (2x + 3) x
• f = u × v avec u(x) = 2x + 3 et v (x) = x or f ′ = u ′ v + uv ′ .
Comme u ′ (x) = 2 et v ′ (x) = 1 alors f ′ (x) = 2 x + (2x + 3) 1 .
2 x

2x

• g = u 3 avec u(x) = x 2 + 4x + 3 or g ′ = 3u ′ u 2 .

2

Comme u ′ (x) = 2x + 4 alors g ′ (x) = 3(2x + 4) x 2 + 4x + 3 .

E XERCICE 8.2 (3 points).
La courbe C de la figure ci-contre est une partie de la
courbe représentative, relativement à un repère orthogonal, d’une fonction f définie et dérivable sur R.
On donne les renseignements suivants :

3

1

A

• la courbe admetune tangente horizontale au point

−2 −1 O
−1

1

2

d’abscisse 1 ;
• le point B(2; 1) appartient à C ;
• la tangente à la courbe C au point B passe par le
point C (4; 0) ;

B
C
2

3

×

4

5

−2
−3

1. Déterminer graphiquement f (2), f ′ (1) et f ′ (2).
• Le point B(2; 1) appartient à C donc f (2) = 1.
• La courbe admet une tangente horizontale au point d’abscisse 1donc f ′ (1) = 0 car c’est le coefficient directeur de la
tangente à la courbe au point d’abscisse 1.
y −y
• La tangente à la courbe C au point B passe par le point C (4; 0) donc son coefficient directeur vaut f ′ (2) = xC −xB = 0−1
4−2 =
C

− 21 .

B

2. Une des représentations graphiques ci-dessous, représente la fonction dérivée f ′ de f . En justifiant votre choix à
l’aided’arguments basés sur l’examen des représentations graphiques, déterminer la courbe associée à la fonction
f ′.
Les variations de f donnent le signe de f ′ (x) :
x

1

−∞

+∞

Variations de f
Signe de f ′ (x)

0

+



Donc la courbe de f ′ ne peut pas être la courbe C 2 , mais peut très bien être une des deux autres courbes. Il faut un argument
supplémentaire.
On sait que f ′ (2) = −21 donc la courbe de f ′ passe par le point 2; − 12 . Ce ne peut donc pas être la courbe C 3 .
La courbe de f ′ est donc la courbe C 1 .

3

3

2

2

1

1

−2 −1O
−1
−2
−3
David ROBERT

1

2

3 C41 5

−2 −1O
−1
−2
−3

3
C2
1

2

3

4

5

2
1
−2 −1O
−1

1

2

3 C43 5

−2
−3

97

Nom :

Lundi 17 mai – 1h00

E XERCICE 8.3 (8 points).2
.
f est la fontion définie sur R\{3} par : f (x) = x −11x+28
x−3
On note C la courbe représentative de f dans un repère du plan.
On donne en annexe page suivante un repère dans lequel une partie de C est déjà tracée.
On complètera le schéma avec les éléments rencontrés au fur et à mesure de l’exercice (points, tangentes, etc.).
1. f est dérivable sur R\{3} et on note f ′ la fonctiondérivée de f .
(a) Justifer que f ′ (x) =

x 2 −6x+5
.
(x−3)2



f = uv avec u(x) = x 2 − 11x + 28 et v (x) = x − 3. Or f ′ = u v−uv
.
2

v

2
2
2
2
+11x−28
Comme u ′ (x) = 2x − 11 et v ′ (x) = 1, alors f ′ (x) = (2x−11)(x−3)−(x2 −11x+28) = 2x −6x−11x+33−x
= x −6x+5
2
2 .

(x−3)

(x−3)

(x−3)

(b) Étudier le signe de f ′ (x) selon les valeurs de x et établir le tableau devariation de la fonction f (on indiquera
les extremums locaux de f ).
• Signe de f ′ (x).
· x 2 − 6x + 5 est un trinôme positif sauf entre les racines, si elles existent.
= 22 = 1 et x2 = −(−6)+4
= 10
∆ = (−6)2 − 4 × 1 × 5 = 36 − 20 = 16 = 42 > 0, il y a donc deux racines x1 = −(−6)−4
2
2
2 =5
2
· (x − 3) est positif.
On a donc :
x

1

−∞

x 2 − 6x + 5

+

(x − 3)2

+f ′ (x)

+

3

0

0

5





+

+





+∞

0

+
+

0

+

• Le signe de f ′ (x) donne les variations de f . On a donc :
x

1

−∞

f ′ (x)
f

+

0

3


5


0

+∞
+

−9
−1

2
2
18
Car f (1) = 1 −11×1+28
= −2
= −9 et f (5) = 5 −11×5+28
= −2
1−3
5−3
2 = −1.

2.

(a) Déterminer, s’il y en a, les abscisses des points...
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