Démonstration dérivée

792 mots 4 pages
1°S Démonstrations de la dérivée d’une somme, d’un produit , de l’inverse et d’un quotient Page : 1

I) Dérivée d’une somme La fonction u + v est dérivable sur I et on a : (u + v)’(x) = u’(x) + v’(x). Démonstration. Soient u et v des fonctions dérivables sur un intervalle I. Pour tout a de I on a :  ( u + v)(a + h ) − ( u + v)(a)   u (a + h ) − v (a + h ) − u (a ) − v (a)   u ( h + a) − u (a) v (a + h ) − v (a)  +  = =  h h h h       Or u et v sont dérivable en a. Donc on aura :  u (a + h ) − u (a )   v (a + h ) − v (a )  lim   = u ' (a ) et lim   = v' (a) h →0  h →0  h h    (u + v )(a + h ) − (u + v )(a)  Donc lim   = u ' (a ) + v' (a ) = (u '+ v' )(a ) h →0  h  Ceci étant vrai pour tout réel a de I, on en déduit que : (u + v)’(x) = u’(x) + v’(x). II) Dérivée d’un produit. La fonction u × v est dérivable sur I et on a : (u × v)’(x) = u’(x)v(x) + v’(x)u(x). Démonstration. Soient u et v des fonctions dérivables sur un intervalle I. Pour tout a de I et pour h ≠ 0 on a:  (uv )(a + h ) − (uv )(a )   u (a + h ) v (a + h ) − u (a )v (a )  lim   = lim   h →0  h h  h→ 0 
 u (a + h ) v(a + h ) − u (a ) v( a + h ) + u (a )v (a + h ) − u (a )v (a )  = lim   h → 0 h  v(a + h ) − v (a )  u ( h + a ) − u (a )  = lim  × v(a + h ) + × u (a )  h → 0 h h   u (a + h ) − u (a )  Or u et v sont dérivable s en a. Donc on aura : lim   = u ' (a ) et h →0  h   v (a + h ) − v (a )  lim   = v' (a) h →0  h  D’autre part, l’approximation affine de v(a + h) montre que v(a + h) tend vers v(a) quand h trend vers 0.  (uv )(a + h ) − (uv )(a)  On en déduit que : lim   = u’(a) x v(a) + u(a) x v’(a) h →0  h  Ceci étant vrai pour tout réel a de I, on en déduit que : (u x v)’(x) = u’(x)v(x) + v’(x)u(x).

III) Dérivée de l’inverse. 1 1 u ' (x ) La fonction est dérivable sur I telle que u ne s’annule pas sur I on a : ( )’(x) = . u u [u( x)]2 Démonstration. Soient u une fonction dérivable sur un intervalle I telle que u ne

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