Démonstration dérivée
I) Dérivée d’une somme La fonction u + v est dérivable sur I et on a : (u + v)’(x) = u’(x) + v’(x). Démonstration. Soient u et v des fonctions dérivables sur un intervalle I. Pour tout a de I on a : ( u + v)(a + h ) − ( u + v)(a) u (a + h ) − v (a + h ) − u (a ) − v (a) u ( h + a) − u (a) v (a + h ) − v (a) + = = h h h h Or u et v sont dérivable en a. Donc on aura : u (a + h ) − u (a ) v (a + h ) − v (a ) lim = u ' (a ) et lim = v' (a) h →0 h →0 h h (u + v )(a + h ) − (u + v )(a) Donc lim = u ' (a ) + v' (a ) = (u '+ v' )(a ) h →0 h Ceci étant vrai pour tout réel a de I, on en déduit que : (u + v)’(x) = u’(x) + v’(x). II) Dérivée d’un produit. La fonction u × v est dérivable sur I et on a : (u × v)’(x) = u’(x)v(x) + v’(x)u(x). Démonstration. Soient u et v des fonctions dérivables sur un intervalle I. Pour tout a de I et pour h ≠ 0 on a: (uv )(a + h ) − (uv )(a ) u (a + h ) v (a + h ) − u (a )v (a ) lim = lim h →0 h h h→ 0
u (a + h ) v(a + h ) − u (a ) v( a + h ) + u (a )v (a + h ) − u (a )v (a ) = lim h → 0 h v(a + h ) − v (a ) u ( h + a ) − u (a ) = lim × v(a + h ) + × u (a ) h → 0 h h u (a + h ) − u (a ) Or u et v sont dérivable s en a. Donc on aura : lim = u ' (a ) et h →0 h v (a + h ) − v (a ) lim = v' (a) h →0 h D’autre part, l’approximation affine de v(a + h) montre que v(a + h) tend vers v(a) quand h trend vers 0. (uv )(a + h ) − (uv )(a) On en déduit que : lim = u’(a) x v(a) + u(a) x v’(a) h →0 h Ceci étant vrai pour tout réel a de I, on en déduit que : (u x v)’(x) = u’(x)v(x) + v’(x)u(x).
III) Dérivée de l’inverse. 1 1 u ' (x ) La fonction est dérivable sur I telle que u ne s’annule pas sur I on a : ( )’(x) = . u u [u( x)]2 Démonstration. Soient u une fonction dérivable sur un intervalle I telle que u ne