EXERCICE CORRIGE

Une laiterie produit des camemberts commercialisés sous la marque « Le moine gourmand ». La masse X, exprimée en g, d’un camembert tiré au hasard dans la production, est distribuée selon une loi normale. On tire un échantillon simple de 17 camemberts que l’on pèse et dont le tableau suivant fournit les masses : 250 254 254 253 256 250 257 251 253 255 250 255 252 261 252 251 255 1a) En utilisant une calculatrice donner la moyenne et la variance de cet échantillon. b) Donner une estimation ponctuelle de la variance σ² de la production. Déterminer une estimation par intervalle de confiance à 95% de la masse moyenne µ de la production. Le responsable de fabrication des camemberts « Le moine gourmand » souhaite savoir quelle taille minimale donner à un échantillon aléatoire simple pour obtenir un intervalle de confiance pour µ, au niveau 95 %, d’amplitude inférieure à 1. a) On indique au responsable que l’on ne peut pas répondre à sa question sans un renseignement supplémentaire sur la variance de la production. Pourquoi la connaissance de cette variance est-elle nécessaire pour répondre à cette question ? b) Le responsable précise alors que σ ² = 6,25. Calculer la taille minimale que doit avoir un échantillon pour que l’intervalle de confiance à 95 % pour µ ait une amplitude inférieure à 1. Le responsable de fabrication estime que plus de 15 % des camemberts de la production ont une masse supérieure à 257 g. On tire un échantillon aléatoire simple de 200 camemberts. On constate que 40 d’entre eux pèsent plus de 257 g. Au vu de cet échantillon, peut-on conclure, au seuil de signification 5 %, que le responsable de fabrication a raison ?

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Eléments de correction : 1. a) x = 253,5 g n ˆ b) σ ² = s² n −1 s² = 8,01
ˆ σ 2 = 8,51

Exercices Corrigés

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Bulletin du GRES n°9

2. La population est normale, sa variance est inconnue, on utilise une loi de ( X −µ) Student. La variable aléatoire T, définie par T = où X est la S n −1