Echantillonage

Pages: 5 (1201 mots) Publié le: 2 juillet 2012
EXERCICE CORRIGE

Une laiterie produit des camemberts commercialisés sous la marque « Le moine gourmand ». La masse X, exprimée en g, d’un camembert tiré au hasard dans la production, est distribuée selon une loi normale. On tire un échantillon simple de 17 camemberts que l’on pèse et dont le tableau suivant fournit les masses : 250 254 254 253 256 250 257 251 253 255 250 255 252 261 252 251255 1a) En utilisant une calculatrice donner la moyenne et la variance de cet échantillon. b) Donner une estimation ponctuelle de la variance σ² de la production. Déterminer une estimation par intervalle de confiance à 95% de la masse moyenne µ de la production. Le responsable de fabrication des camemberts « Le moine gourmand » souhaite savoir quelle taille minimale donner à un échantillon aléatoiresimple pour obtenir un intervalle de confiance pour µ, au niveau 95 %, d’amplitude inférieure à 1. a) On indique au responsable que l’on ne peut pas répondre à sa question sans un renseignement supplémentaire sur la variance de la production. Pourquoi la connaissance de cette variance est-elle nécessaire pour répondre à cette question ? b) Le responsable précise alors que σ ² = 6,25. Calculer lataille minimale que doit avoir un échantillon pour que l’intervalle de confiance à 95 % pour µ ait une amplitude inférieure à 1. Le responsable de fabrication estime que plus de 15 % des camemberts de la production ont une masse supérieure à 257 g. On tire un échantillon aléatoire simple de 200 camemberts. On constate que 40 d’entre eux pèsent plus de 257 g. Au vu de cet échantillon, peut-onconclure, au seuil de signification 5 %, que le responsable de fabrication a raison ?

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Eléments de correction : 1. a) x = 253,5 g n ˆ b) σ ² = s² n −1 s² = 8,01
ˆ σ 2 = 8,51

Exercices Corrigés

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Bulletin du GRES n°9

2. La population est normale, sa variance est inconnue, on utilise une loi de ( X −µ) Student. La variable aléatoire T, définie par T = où X est la S n −1moyenne de l’échantillon aléatoire de taille n de la variable aléatoire X, est distribuée selon la loi de Student à n-1 ddl X −µ n = 17, T = , T est distribuée selon la loi de Student à 16 ddl. S 4 Si t = t0,975 ; 16 alors P(-t < T < t) = 0,95. On lit dans la table : t0,975 ; 16 = 2,12. On obtient l’intervalle de confiance aléatoire au niveau 95% : S S   X − 2,12 × 4 ; X + 2,12 × 4    x = 253,5 get s = 2,8 g sont les valeurs observées de X et S sur l’échantillon prélevé d’où une estimation de µ par intervalle de confiance au niveau 95 % 2,8 2,8   253,5 − 2,12 × ;253,5 + 2,12 ×   4 4  [252,0 ; 255,0] est un intervalle de confiance de µ au niveau 95 % X −µ où X est la S n −1 moyenne de l’échantillon aléatoire de taille n de la variable aléatoire X, est distribuée selon la loi deStudent à n-1 ddl. Ce qui fait l’intérêt de la variable de Student T, c’est qu’elle ne dépend pas de l’écart type σ de la variable mère X. On utilise ce résultat chaque fois σ est inconnu. Si X est distribuée selon une loi normale, de moyenne µ et d’écart type σ inconnus, l’intervalle de confiance aléatoire de la moyenne µ au niveau 95% est : S S   X − t 0 ,975 ;n−1 ; X + t 0 ,975;n −1  n −1 n − 1  S Cet intervalle a pour amplitude 2 × t 0 ,975;n −1 . n −1 Le problème posé par le responsable de fabrication correspond à la résolution de S l’inéquation 2 × t 0 ,975 ;n−1 ≤ 1. n −1 Or S, n − 1 et t 0 ,975;n −1 dépendent de n. En l’absence de données supplémentaires on ne peut pas résoudre cette inéquation. 3. a) Si X est de loi normale la variable T, définie par T = b) X est de loi normaleet on connaît maintenant sa variance σ ². Sous ces
Exercices Corrigés

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Bulletin du GRES n°9

X −µ σ ), et U, définie par U = , σ n n selon la loi normale N(0 ; 1). L’intervalle de confiance aléatoire de la moyenne µ σ σ  au niveau 95% est :  X − u0 ,975 ; X + u0 ,975 . n n   σ Cet intervalle a pour amplitude 2 × u 0 ,975 . Pour obtenir un intervalle n σ d’amplitude inférieure ou...
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