Econometrie

Pages: 67 (16541 mots) Publié le: 11 janvier 2011
Économétrie
5 édition
e

Annexes : exercices et corrigés

William Greene New York University

Édition française dirigée par Didier Schlacther, IEP Paris, université Paris II

Traduction : Stéphanie Monjon, université Paris I Panthéon-Sorbonne

Le présent texte est la traduction de Solutions Manual to Econometric Analysis, 5th edition, de William Greene, publié par Prentice Hall,Upper Saddle River, New Jersey, États-Unis. Copyright © 2003 Pearson Education Inc.

Authorized translation from the English language edition, entitled Solutions Manual to Econometric Analysis, 5th edition published by Pearson Education Inc., publishing as Prentice Hall PTR, Copyright © 2003 by Pearson Education Inc., Upper Saddle River, New Jersey, 07458. All rights reserved. No part of this bookmaybe reproduced or transmitted in any form or by any means, electronic or mechanical, including photocopying, recording or by any information storage retrieval system, without permission from Pearson Education Inc., French language edition published by PEARSON EDUCATION France, Copyright © 2006.

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Annexe A
Exercice 1
⎡ 1 3 3⎤ Pour les matrices A = ⎢ ⎥ et B = ⎣ 2 4 1⎦

⎡2 4⎤ ⎢1 5 ⎥ , calculer AB, A′B′, et BA. ⎢ ⎥ ⎢6 2 ⎥ ⎣ ⎦

⎡10 22 10 ⎤ ⎡ 23 25⎤ ⎢ ⎥ AB = ⎢ ⎥ , BA = ⎢11 23 8 ⎥ ⎣14 30 ⎦ ⎢10 26 20 ⎥ ⎣ ⎦ ⎡10 11 10 ⎤ A′B′ = (BA)′ = ⎢ 22 23 26⎥ . ⎢ ⎥ ⎢10 8 20 ⎥ ⎣ ⎦

Exercice 2
Prouver que tr(AB) = tr(BA) avec A et B deux matrices quelconques, non nécessairement carrées, pouvant être multipliées. Le i-ième élément de la diagonale de AB est ∑ j aij b ji . En sommant sur i, on obtient tr(AB) = ∑i ∑i aij b ji . Le j-ième élément de la diagonale de BA est ∑ j b ji aij . En sommant sur i, on obtient tr(BA) = ∑i ∑ j b ji aij .

Exercice 32 Prouver que tr(A′A) = ∑i ∑ j aij .

Le j-ième élément de la diagonale de A′A est le produit de la j-ième colonne de A,
2 2 2 ∑i aij . En sommant sur j, on obtient tr(A′A) = ∑ j ∑i aij = ∑i ∑ j aij .

4

Économétrie

Exercice 4
Développer le produit de la matrice X = {[AB + (CD)′][(EF)–1 + GH]}′. On suppose que toutes les matrices sont carrées et que E et F sont non singulières. Ondéveloppe d’abord (CD)′ = D′C′ et (EF)–1 = F–1E–1. Le produit est alors : {[AB + (CD)′][(EF)–1 + GH]}′ = (ABF–1E–1 + ABGH + D′C′F–1E–1 + D′C′GH)′ = (E–1)′(F–1)′B′A′ + H′G′B′A′ + (E–1)′(F–1)′CD + H′G′CD

Exercice 5
Prouver que, pour des vecteurs colonnes K × 1, xi i = 1, ..., n, et un vecteur non nul, a,
0 ∑ in=1 ( xi − a )( xi − a ) ' = X'M X + n x − a x − a '

(

)(

)

On écrit xi – acomme [( xi – x ) + ( x – a)]. La somme est alors :
∑ in=1 [(xi – x ) + ( x – a)] [(xi – x ) + ( x – a)]′ = ∑ in=1 (xi – x )(xi – x )′ + ∑ in=1

( x – a) ( x – a)′ + ∑ in=1 (xi – x )( x – a)′ + ∑ in=1 ( x – a) (xi – x )′ Puisque ( x – a) est un vecteur de constantes, il peut être extrait des sommes. Ainsi, le quatrième terme est ( x – a) ∑ in=1 (xi – x )′ = 0. Le troisième terme est similaire.Le premier terme est X′M0X par définition alors que le deuxième est n( x – a) ( x – a)′.

Exercice 6
On note A une matrice carrée dont les colonnes sont [a1, a2, ..., aM] et B tout réarrangement des colonnes de la matrice identité M × M. Quelle opération est exécutée par la multiplication AB ? Que dire de BA ? B est appelée une matrice de permutation. Chaque colonne de B, notée bi, est une...
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