ENS Ulm-Lyon 2000
Soit f une fonction dans C ∞ (Rd , Rd ) (d´finie sur Rd et ` valeurs dans Rd ). L’objet de ce probl`me est l’´tude de propri´t´s e a e e ee qualitatives du syst`me d’´quations diff´rentielles e e e (E) dx (t) = f (x(t)) dt

o` x est une fonction d´finie sur un intervalle de R ` valeurs dans Rd . La norme euclidienne usuelle de Rd sera not´e . u e a e et B(x, r) d´signera la boule ouverte de centre x et de rayon r. On notera Re z la partie r´elle du nombre complexe z. La e e diff´rentielle de f en un point x0 ∈ Rd sera not´e df (x0 ). Soit x0 ∈ Rd et trois r´els t1 < t0 < t2 . On dira qu’une solution e e e x ∈ C 1 ([t1 , t2 ], Rd ) de (E) passe par x0 ` l’instant t0 si x(t0 ) = x0 . Une solution x(t) de (E) sera aussi appel´e trajectoire a e de (E). On admet le th´or`me de Cauchy-Lipschitz (avec d´pendance C ∞ en les donn´es initiales), qu’on utilisera sans e e e e d´monstration : e Th´or`me de Cauchy-Lipschitz. Soit f ∈ C ∞ (Rd , Rd ) et t0 ∈ R, x0 ∈ Rd . Alors il existe τ > 0 et r > 0 et une fonction e e ϕ(t, y) de classe C ∞ , d´finie sur ]t0 − τ, t0 + τ [×B(x0 , r), ` valeurs dans Rd , telle que e a ∂ϕ ϕ(t0 , y) = y et (t, y) = f (ϕ(t, y)) ∂t pour tout (t, y) ∈]t0 − τ, t0 + τ [×B(x0 , r). On rappelle d’autre part qu’il existe une unique solution maximale x(t) de (E) passant par x0 en t0 . Cette solution est d´finie sur un intervalle ouvert ]a, b[ avec a < t0 < b et si b < +∞ (respectivement a > −∞) alors Sup x(t) = +∞ e t∈[t0 ,b[

(respectivement Sup t∈]a,t0 ]

x(t) = +∞).

Un point x0 ∈ Rd est dit point critique de f si f (x0 ) = 0. D´finition 1 (stabilit´ d’un point critique). Un point critique x0 est dit stable s’il existe η > 0 tel que, pour tout e e x1 ∈ B(x0 , η), il existe une solution x(t) de (E) d´finie pour tout t 0 v´rifiant x(0) = x1 et e e lim x(t) − x0 = 0 . t→+∞ Un point critique est dit instable s’il n’est pas stable. Une solution x(t) de (E) est dite p´riodique si elle est d´finie pour tout t ∈ R et s’il existe T > 0 tel