BTS — groupement C
Correction ´preuve Math´matiques e e Session 2006

Exercice 1 (10 points)
Partie A.
Soit l’´quation : (E) y − 4y + 3y = −3x − 2 e 1. L’´quation (E) est une ´quation du second ordre ` coefficients constants. e e a Les solutions de l’´quation sans second membre (E0 ) y − 4y + 3y = 0 e s’obtiennent en r´solvant l’´quaton caract´ristique : r2 − 4r + 3 = 0. e e e Celle ci poss`de deux solutions : r1 = 1 et r2 = 3. e Les solutions de l’´quation (E0 ) sont donc les fonctions d´finies par e e y = C1 er1 x + C2 er2 x = C1 ex + C2 e3x o` C1 et C2 sont des constantes r´elles, d´pendants des conditions initiales. u e e 2. (a) Recherche d’une solution particuli`re sous la forme g(x) = ax + b : g e est une solution de (E) si et seulement si 3ax − 4a + 3b = −3x − 2, soit a = −1 et b = −2. Donc g(x) = −x − 2. (b) Les solutions de (E) s’obtiennent en ajoutant ` une solution partia culi`re de (E) les solutions g´n´rales de (E0 ). L’ensemble des solue e e tions de (E) est l’ensemble des fonctions f (x) = C1 ex + C2 e3x − x − 2 (C1 ; C2 ) ∈ R2

3. On a f (x) = C1 ex + 3C2 e3x − 1 et f (x) = C1 ex + 9C2 e3x . Si on impose f (0) = −1 et f (0) = 9 alors : C1 = 0 et C2 = 1, d’o` u f (x) = e3x − x − 2

´ Partie B. Etude de f , d´finie sur R e
1. En −∞, lim e3x = 0 et lim (−x − 2) = +∞ donc lim f = +∞ x→−∞ x→−∞ −∞

2. Au voisinage de +∞, pour lever l’ind´termination sur la limite, on ´crit e e e3x 2 −1− . f sous la forme : f (x) = x x x 3x 2 e = +∞ et lim = 0 donc lim f = +∞ On a lim x→+∞ x x→+∞ x +∞

1

ln 3 3. f est d´rivable sur R et f (x) = 3e3x − 1. Donc f (x) > 0 ⇔ x > e . 3 D’o` le tableau : u x f (x) +∞ f 1− ln 3 3

−∞ −

ln 3 3

+∞ + +∞

0

4. On a f (x) − (−x − 2) = e3x et lim e3x = 0. x→−∞ La droite d’´quation y = −x − 2 est donc une asymptote au voisinage de e −∞ 5. De plus, pour tout x ∈ R, e3x > 0, la courbe de f est donc au dessus de son asymptote. 6. cf courbe.

Partie C. Calcul d’aire
0

L’aire de ce domaine est
−2 0