MPSI 1 Devoir en temps libre no 22

2005-2006

Espaces euclidiens
A rendre le lundi 24 avril

Problème 1: [Un exemple de structure euclidienne]1 On considère l’espace vectoriel E = Rn [X]. Pour P, Q ∈ E on pose : n P |Q = i=0 P (i)Q(i).

Partie I 1. Montrer qu’on définit ainsi un produit scalaire sur E. On notera P euclidienne du polynôme P associée au produit scalaire précédent.
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la norme

2. Montrer qu’il existe une unique famille (L0 , ..., Ln ) de E telle que Li (j) = δi,j pour tout (i, j) ∈ {0, 1, ..., n}2 . Vérifier que la famille B = (L0 , ..., Ln ) est une base orthonormée de E. Que peut-on dire du degré du polynôme X n + (−1)n+1 n!L0 ? 3. Déterminer les coordonnées dans la base B d’un vecteur N de E orthogonal à l’hyperplan H de E formé des polynômes de degré ≤ n − 1. Si P ∈ E, on note d(P, H) = inf Q∈H P − Q 2 la distance de P à l’hyperplan H. Montrer que d(X n , H) = n!d(L0 , H). n 4. En remarquant que (1 + X)2n = (1 + X)n (1 + X)n , exprimer p=0 n p

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à l’aide d’un

seul coefficient binomial. 5. En déduire la valeur de d(X n , H). Partie II Un endomorphisme d’un espace euclidien E est autoadjoint si pour tous x, y ∈ E, f (x)|y = x|f (y) . n On note Π = i=0 (X − i) et on fixe un polynôme M0 dans E. On considère l’application

φ de E dans E qui à tout P associe le reste de la division euclidienne de M0 P par Π. 1. Montrer que φ est un endomorphisme de E. 2. Exprimer φ(Li ) en fonction de Li . En déduire que φ est un endomorphisme autoadjoint de E. 3. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur M0 pour que φ soit un automorphisme orthogonal de E. Quelle est alors sa nature géométrique ?
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d’après Centrale PSI Math 2 M 2002

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4. On note B(0, 1) = {P ∈ E | P
P ∈B(0,1)

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≤ 1}. Exprimer et
P ∈B(0,1)

min

φ(P )|P

max

φ(P )|P

à l’aide des M0 (i). Problème 2: Dans tout le problème2 , E désigne un espace vectoriel réel muni d’un produit scalaire. Le produit scalaire de deux