Julien

Pages: 19 (4596 mots) Publié le: 27 mars 2013
1
ACTIVITÉS
Activité 1
1 a) f(2) < f(5).
f(4,2) > f(1,6). b) g(1) > g(3,5). g(2,6) < g(1,9).

CHAPITRE

Fonctions, équations, inéquations
(page 23) b) C’est une fonction décroissante (lorsque le temps augmente, la quantité d’eau diminue).

a) S est une fonction croissante (lorsque le rayon r augmente, l’aire S augmente).

2

Activité 2
Pas de corrigé.

PROBLÈME OUVERT
• Piste 1: Exprimez le volume en fonction de x et de h. • Piste 2 : Déduisez-en l’expression de h en fonction de x. • Piste 3 : Exprimez l’aire des parois en fonction de x. • Piste 4 : Justifiez que l’aire des parois est A(x) = x2 + 16 . x • Piste 5 : Programmez la table de valeurs de A pour des valeurs de x allant de 0 à 10 avec un pas de 0,5. • Piste 6 : Réduisez le pas. • Piste 7 : Conjecturez unevaleur de x permettant d’utiliser le minimum de peinture. Correction : Dans tout ce qui suit x > 0. Le volume est V = x2h, ce volume vaut 4, donc x2h = 4 et h = 42 . x L’aire des parois latérales est A(x) = x2 + 4xh (le carré de base et quatre rectangles de dimensions x et h). Puisque h = 42 , on obtient : x A(x) = x2 + 4x × 42 = x2 + 16 . x x On représente la courbe de A à l’aide de GeoGebra, parexemple, et on conjecture que x = 2 (en mètres) est la valeur de x qui permet d’utiliser le minimum de peinture. Pour obtenir une solution algébrique, on peut former la différence A(x) – A(2), puis étudier son signe pour justifier que A(2) est le minimum de A. A(x) – A(2) = x2 + 16 – 12 x x3 – 12x + 16 . = x Il s’agit donc de déterminer le signe de x3 – 12x + 16 puisque x > 0. En utilisant le logicielXCas, on obtient la factorisation suivante : x3 – 12x + 16 = (x – 2)2 (x + 4). Comme x > 0, alors x + 4 > 0 et (x – 2)2 0 et ainsi A(x) – A(2) 0. Ce qui prouve que A(x) A(2) et x = 2 est bien la valeur qui minimise la quantité de peinture à utiliser.

10

EXERCICES
1 2
a) – 1 ∈ [– 1 ; 2[. c) 5,9 ∈ ]5,8 ; + ∞[. 1. – 2. –2 b) – 1 < x c) 2 d) e) x 0 –1 5 2
1

Application (page 27)
b) – 2 ∉]– ∞ ; – 1[. 3 d) 7 ∉ ]0 ; 7[. Intervalle : ]3 ; + ∞[. ]– ∞ ; – 2] ]– 1 ; 0] 0 [2 ; 5] 5 ]– ∞ ; 1[ ]2 ; 3[ b) 2. f(6) = – 3 × 62 + 5 × 6 = – 78. 10 1. f(3) = – 32 + 6 = – 7. 3 6 = – 16 – 3 = – 35 . 2 f(– 4) = – (– 4) + –4 2 2 2. f(2) = – 22 + 6 = – 4 + 3 = – 1. 2 1 = – 1 2 + 6 = – 1 + 6 × 2 = 47 . f 2 2 4 4 1 2

2. a) x

3

11 1. f(1) = 3 × 12 – 2 = 1.
f(2) = 3 × 22 – 2 = 10. f(3) = 3 × 32– 2 = 25. 2. f(2t) = 3 × (2t)2 – 2 = 3 × 4t2 – 2 = 12t2 – 2. 1 = 1 = 1. (– 1)2 + 2 1 + 2 3 g(2) = 2 1 = 1 = 1 . 2 +2 4+2 6 1 g(13) = = 1 = 1. (13)2 + 2 3 + 2 5 1 = 1 . 2. g(1t) = (1t)2 + 2 t+2

2 a)

3 – 10 15 x ∈ ]– 10 ; 15].
4 x ∈ ]– ∞ ; 4[

3

12 1. g(– 1) =

7 x ∈ [7 ; + ∞[.

c)

4 5
b)

a) 7 c) x a)

x 9.

7,5.

b) – 1 < x d) x > 2.

0.

13 1. h(12) ≈ – 70 ; h(–6) ≈ 0.
2. a) h(12) = 2 × 122 – 16 × 12 – 168 = 288 – 192 – 168 = – 72. h(– 6) = 2 × (– 6)2 – 16 × (– 6) – 168 = 2 × 36 + 96 – 168 = 0. b) Cela confirme la valeur de h(– 6), mais pas h(12). La lecture graphique manquait de précision.

–3 ]– 3 ; 4[ 1 3 – ∞; 1 3 1 2

4

c) ]– ∞ ; + ∞[ d) – ∞ ; 1 2

14 1. a) f(x) = 1 a comme solutions – 2 et 3.
b) f(x) = – 1 a comme solutions – 5 ; ≈ – 2,4.c) f(x) = 0 a comme solutions – 2,1 et 4. 2. les antécédents de 3 sont ≈ – 1,5 et ≈ 2.

6

1. f(– 3) = – 2 ; f(1) ≈ 2,4.

2. f(0) ≈ 2,8 ; f(– 1) ≈ 2 ; f(2) = 2 ; f(– 2) = 0.

7 8 9

1. f(– 4) ≈ – 1,4 ; f(– 1) ≈ 2,3 ; f(1) = 0.

2. f(– 3) = 0 ; f(0) ≈ 1,1 ; f(2) = – 1. a) Faux. b) Vrai. e) Vrai. c) Faux.

d) Vrai.

1. f(1) = – 3 × 12 + 5 × 1 = 2. f(– 3) = – 3 × (– 3)2 + 5 × (– 3) = –3 × 9 – 15 = – 27 – 15 = – 42. f(103) = – 3 × (103)2 + 5 × 103 = – 3 × 106 + 5 × 103 = – 2 995 × 103.

15 • f(x) = 5 8x + 3 = 5 8x = 2 x= 2 = 1 8 4 5 a pour antécédent 1 par f. 4 • g(x) = 5 – 5x – 7 = 5 – 5x = 12 x = 12 . –5 5 a pour antécédent – 12 par g. 5

• f(x) = – 2 8x + 3 = – 2 8x = – 5 x = – 5. 8 – 2 a pour antécédent – 5 par f. 8 • g(x) = – 2 – 5x – 7 = – 2 – 5x = 5 x = 5 = – 1. –5...
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