treillis-MEFMEF : Étude des treillis 1/11 1
Modèle éléments finis pour l'étude des treillis Un treillis est constitué d'éléments barres qui ne travaillent qu'en traction compression. Nous allons utiliser la méthode des éléments finis pour modéliser ces structures. Nous débutons par la présentation de l'élément fini barre, en détaillant le calcul des matrices élémentaires permettant d'exprimer le principe des travaux virtuel sous forme matricielle. Puis nous verrons comment utiliser ces …afficher plus de contenu…

Ce n'est plus le cas pour les structures tridimensionnelles, c'est pourquoi nous les traiterons exclusivement du point de vue numérique. Assemblage et résolution
Pour chaque élément de la structure nous avons : [ ]{ } [ ]{ } { } ie e e e e e je F e M U K U
F
φ
  ∀ + = +  
  
ɺɺ
L'assemblage consiste à sommer les énergies élémentaires
0
e eD =∑∫ ∫
ℓ
Pour les efforts nodaux l'équilibre d'un nœud quelconque donne 0i ie e F F− =∑
Les iF représentent les efforts extérieurs appliqués aux nœuds de la structure. Se sont soit des charges données soit des efforts aux appuis (conditions cinématiques) qui sont des inconnues …afficher plus de contenu…

Nous utilisons la loi de comportement intégrée :
{ }, , ( )x x e j i e ES
N ES u ES N U u u Cte= = < > = − =
ℓ

L'état de contrainte est constant dans chaque élément fini
En statique, pour des treillis chargés aux nœuds le modèle éléments finis ne nécessite qu'un élément par barre du treillis, il donnera la solution analytique exacte. Ce n'est évidemment pas le cas ni pour une colonne chargée par son poids propre, ni pour les problèmes de dynamique, ou la solution exacte se décompose sur une base de fonctions sinusoïdale (cf chapitre sur les solutions analytiques pour les barres) . Dans le cas bidimensionnel, l’état de contrainte sur un élément est donné par : ( ) j i j i j ie