exercice 1
Calculer x1² + x2² et x13 + x23 où x1 et x2 sont les deux racines de ax² + bx + c.

exercice 2
Résoudre dans \mathbb{R} l'équation suivante : x^4 - 3x^2 - 4 = 0 indication : on pourra poser X = x^2

exercice 3
Résoudre dans \mathbb{R} l'équation suivante : x - 5\sqrt{x} - 36 = 0 indication : on pourra poser X = \sqrt{x}

Exercice 4

On appelle polynôme symétrique un polynôme dont les coefficients peuvent se lire indifféremment dans un sens comme dans l'autre. exemple : f (x) = x4 - 5x3 + 6x² - 5x + 1
Le but de l'exercice est de résoudre l'équation (E) : x^4 - 5x^3 + 6x^2 - 5x + 1 = 0, pour tout x appartenant à \mathbb{R}.

1. Vérifier que 0 n'est pas solution de (E).

2. Montrer que si x_0 est solution de (E), alors \dfrac{1}{x_0} est solution de (E).

3. Montrer que l'équation (E) est équivalente à l'équation (E') : x^2 - 5x + 6 - \dfrac{5}{x} + \dfrac{1}{x^2} = 0.

4. Calculer \left(x + \dfrac{1}{x}\right)^2.

5. En posant X = x + \dfrac{1}{x}, montrer que l'équation (E') se ramène à une équation du second degré.

6. Résoudre l'équation du second degré, puis en déduire les solutions de l'équation (E).

exercice 5

On appelle polynôme symétrique un polynôme dont les coefficients peuvent se lire indifféremment dans un sens comme dans l'autre.
Exemple : f (x) = 3x4 + x3 - x² + x + 3.
Nous allons voir des méthodes permettant de résoudre l'équation f(x) = 0.

1. Degré 2. Soit : f: x \mapsto ax² + bx + a, a \neq 0.
Résoudre l'équation f (x) = 0 et dans le cas où f admet deux racines distinctes, les comparer.

2. Degré 3. Soit : f: x \mapsto ax3 + bx² + bc + a, a \neq 0. a) Montrer que 0 n'est pas racine de f et que si x1 est racine de f, alors \dfrac{1}{\text{x}_1} est aussi racine de f. b) Trouver une racine évidente de f et en déduire une factorisation de f(x). Discuter alors le nombre de solutions de l'équation f(x) = 0. c) Application f: x \mapsto 7x3 - 43x² - 43x + 7.
Résoudre l'équation f(x) = 0