Theory and Applications of Categories, Vol. 20, No. 17, 2008, pp. 605–649.

PROPRIÉTÉS UNIVERSELLES ET EXTENSIONS DE KAN DÉRIVÉES
DENIS-CHARLES CISINSKI
Abstract. We prove that, given any small category A, the derivator HotA , corresponding to the homotopy theory of presheaves of homotopy types on A, is characterized by a natural universal property. In particular, the theory of Kan extensions extends to the setting of Grothendieck derivators.

Contents
1 2 3 4 5 6 Densité homotopique du plongement de Yoneda Calcul local: isomorphismes de changement de base La propriété universelle de HotA La propriété universelle de Hot•,A Sorites monoïdaux: D-algèbres et D-modules Catégories de modèles monoïdales 609 615 619 627 635 645

Introduction
Ce texte fait suite à deux autres articles: [Cis03, Cis04]. Dans Pursuing stacks [Gro83], Grothendieck énonce une hypothèse inspiratrice à propos de la catégorie homotopique des CW -complexes, notée ici Hot: la sous-catégorie pleine des endofoncteurs de Hot formée des auto-équivalences est équivalente à la catégorie finale. Autrement dit, toute auto-équivalence de Hot est isomorphe à l’identité, et le seul endomorphisme de l’identité est l’identité. Considérons un cas plus trivial: la catégorie des ensembles Ens . Si C et C sont deux catégories, désignons par Hom! (C , C ) la catégorie des foncteurs de C vers C qui commutent aux petites limites inductives. L’évaluation sur l’ensemble à un élément e induit, pour toute petite catégorie admettant des petites limites inductives, une équivalence de catégories − Hom! (Ens , C ) −→ C . En particulier, on a une équivalence de catégories Hom! (Ens , Ens ) Ens par laquelle l’identité de Ens correspond à l’ensemble final. En particulier, 1Ens est un objet final de la catégorie Hom! (Ens , Ens ), ce qui implique l’analogue de l’hypothèse inspiratrice pour
Received by the editors 2008-07-23 and, in revised form, 2008-12-04. Transmitted by Steve Lack. Published on 2008-12-12. 2000