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Pages: 3 (503 mots) Publié le: 3 janvier 2015
Externat Notre Dame

Devoir Maison n°3 (1ere ES/L)

pour Vendredi 4 novembre

Proposition de corrigé

On lance un dé.
Si le 6 sort, le lièvre gagne.
Sinon, la tortue avance d’une case.
Oncontinue le jeu jusqu’à ce qu’il y ait un gagnant.
Quelle est la situation la plus enviable : celle du lièvre ou celle de la tortue ?

Deux approches sont possibles pour traiter ce problème :
–approche par un modèle probabiliste ;
– approche par des simulations donnant lieu à des statistiques.
On va traiter successivement ces deux approches et voir si elles donnent le même
résultat. Approche probabiliste
Dans ce modèle, on supposera que le dé est bien équilibré : il a une chance sur 6 de
tomber sur le 6.
On note S l’évènement : « le 6 sort ».
1
¯ = 5 , étant entendu que S¯signifie que le 1, le 2, le 3, le 4
On a : p(S) = et p(S)
6
6
ou le 5 sont sortis.
On va être amené à répéter ou pas le lancer de dé, selon le résultat : si le 6 sort, le
lièvre a gagné ; sinon, ilfaut relancer le dé.
Cette situation peut être schématisée par l’arbre pondéré suivant :

La probabilité la plus facile à calculer est celle donnant la victoire de la tortue : il
faut que quatrefois de suite, on ne tombe pas sur 6.
La probabilité que cela se passe est :
¯ S;
¯ S;
¯ S)
¯ = 5 × 5 × 5 × 5 ≈ 0, 482 ≈ 48, 2%
p(S;
6 6 6 6
La probabilité de l’évènement contraire (lavictoire du lièvre) est donc environ égale
à 51,8%.

Conclusion : la situation du lièvre est légèrement plus favorable que celle de la tortue.

Approche statistique
On va simuler un grand nombre delancers de dés par l’utilisation de
=1+ENT(6*ALEA())
Comme il serait assez délicat de traiter le cas d’un premier lancer donnant un résultat, conditionnant un second lancer (selon que l’on tombe sur 6ou pas), on peut
faire le choix de simuler 4 lancers de suite dans toutes les simulations.
Le lièvre sera vainqueur, si au moins un des résultats de lancer de dé est égal à 6.
On va utiliser la...
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