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Pages: 161 (40174 mots) Publié le: 8 janvier 2014
ÉCOLE POLYTECHNIQUE
FÉDÉRALE DE LAUSANNE

Algèbre Linéaire
Bachelor 1ère année
2009 - 2010

Génie Civil
&
Sciences et Ingénierie de l’Environnement

Support du cours de Dr. Lara Thomas

Polycopié initial élaboré par
Prof. Eva Bayer Fluckiger
Dr. Philippe Chabloz

Septembre 2009

2

Table des matières
1 Systèmes d’équations linéaires et matrices
1.1 Introduction auxsystèmes d’équations linéaires . . . . . . . . . .
1.2 Systèmes linéaires et matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Elimination Gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Algorithme d’élimination de Gauss . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Méthode de résolution d’un système d’équations linéaires
1.4 Systèmes homogènes d’équations linéaires . . . . . . . . . . . . ..
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2 Eléments du calcul matriciel
2.1 Quelques définitions et opérations . . . . . . . . . . . .
2.2 Le produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . .. . .
2.2.1 Matrice identité . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Règles du calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Ecriture matricielle des systèmes d’équations linéaires
2.5 L’inversion des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Matrices 2 × 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Puissances d’une matrice . . . . . . . . . . . .
2.6 Les matrices élémentaires .. . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Calcul de l’inverse d’une matrice . . . . . . . . . . . .
2.8 Matrices triangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9 La transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10 La trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11 Matrices symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.12 Matrices antisymétriques . . . . . . . .. . . . . . . . .

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3 Le déterminant
3.1 Permutations et déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Méthode pour calculer des déterminants de matrices de taille 2 × 2
3.2 Déterminants etopérations élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Les cofacteurs et la règle de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Calcul du déterminant par la méthode des cofacteurs . . . . . . . .
3.3.2 Calcul de l’inverse par la méthode des cofacteurs . . . . . . . . . .
3.3.3 Systèmes linéaires : règle de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . .

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et 3 × 3. . . . .
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4 Calcul vectoriel dans le plan et dans l’espace
4.1 Définitions et règles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Systèmes de coordonnées . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Propriétés du calcul vectoriel . . . . . . . . . . . .
4.2 Le produit scalaire . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .
4.2.1 Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Le produit vectoriel (cross product) . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Interprétation géométrique du produit vectoriel . .
4.4 Le produit mixte (triple product) . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Droites et plans dans l’espace de dimension 3 . . . . . . .
4.5.1 Equation du plan passant par un point P0 et ayant...
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