Formulaire de mécanique des fluides
427 mots
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1. Cinématique des fluidesu=axv=byw=0
Ecoulement stationnaire : le temps n’apparait pas explicitement dans la description du mouvement
Ecoulement plan : w=0 et ∂u∂z=∂v∂z=0
Ecoulement incompressible : div v=∂u∂x+∂v∂y+∂w∂z=0
Ecoulement irrotationnel : rotv=∂v∂x-∂u∂yz
Ecoulement plan, stationnaire et incompressible ⇒ il existe une fonction de courant ψ telle que :
∂ψ∂y=u-∂ψ∂x=v
Ecoulement plan, stationnaire et irrotationnel ⇒ il existe un potentiel de vitesse ϕ tel que :
∂φ∂x=u∂φ∂y=v
Lignes de courant : dxu=dyv=dzw ⇔v dx=u dy
Trajectoires :
Euler : Lagrange :
Γ=Γxx=dudt+ududx+vdudy+wdudzΓyy=dvdt+udvdx+vdvdy+wdvdzΓzz=dwdt+udwdx+vdwdy+wdwdz Γ:Γx=dudtΓy=dvdtΓz=dwdt 2. Statique des fluides
Loi fondamentale : Le système est soumis aux efforts de pesanteur et est au repos, alors on peut appliquer la Loi Fondamentale de la Statique des Fluides (LFSF) : grad(p)=ρg En projetant sur les 3 axes on a (si le système de retenu de fluide est vertical): dpdx=0dpdy=0dpdz=-ρg⇒p=pz⇔dpzdz=-ρg⇒pz=-ρgz+α Principe de continuité : à l’interface entre 2 milieux la pression est égale. (Par exemple, la pression à la surface d’un verre rempli d’eau est égale la pression atmosphérique).
3. Dynamique des fluides
Loi de conservation de la masse sous forme globale :
D∂ρ∂tdv+∂Dρv.n dS=0
Loi de conservation de la masse sous forme locale :
∂ρ∂t+divρv=0⇔∂ρ∂t+ρ divv
Ecoulement stationnaire : ∂ρ∂t+divρv=0
⇔∂ρ∂t+ρ divv+v .gradρ=0⇒divv=0
L’écoulement est stationnaire et incompressible :
∂ρ∂t+ρ divv+v .gradρ=0⇔v .gradρ=0
Loi de conservation (Hypothèse de l’écoulement par tranches):
∂Dρv.n dS=S1ρv.n dS+S2ρv.n dS+S3ρv.n dS+…+Snρv.n dS=0
Equations d’Euler : ρdvdt=-gradp+ρg En projetant sur les 3 axes : ρ∂u∂t+u∂u∂x+v∂u∂y+w∂u∂z=-∂p∂xρ∂v∂t+u∂v∂x+v∂v∂y+w∂v∂z=-∂p∂yρ∂w∂t+u∂w∂x+v∂w∂y+w∂w∂z=-∂p∂z-ρg Théorème de Bernoulli : L’écoulement est stationnaire, le fluide est