EXERCICE 1
1) Vrai
2) Faux
3) Vrai
4) Faux
5) Vrai
Explications.
1) Soit (P) le plan d’équation 2x + 2y − z − 11 = 0.
• 2 × 2 + 2 × 4 − 1 − 11 = 4 + 8 − 12 = 0. Donc A ∈ (P).
• 2 × 0 + 2 × 4 − (−3) − 11 = 8 + 3 − 11 = 0. Donc B ∈ (P).
• 2 × 3 + 2 × 1 − (−3) − 11 = 6 + 2 + 3 − 11 = 0. Donc C ∈ (P).
D’autre part,
−→AB a pour coordonnées (−2, 0, −4) et le vecteur
−→AC a pour coordonnées (1, −3, −4). Les vecteurs
−→AB et
−→AC ne sont pas colinéaires (car les coordonnées de −→AC ne sont pas proportionnelles aux coordonnées de −→AB) et donc les points A, B et C ne sont pas alignés. On en déduit qu’il existe un et un seul plan les contenant : le plan (P).
2) 2 × 3 + 2 × 2 − (−1) − 11 = 6 + 4 + 1 − 11 = 0. Donc le point E appartient au plan (ABC).
Un vecteur normal au plan (ABC) est le vecteur −→n de coordonnées (2, 2, −1). Le vecteur
−→DE a pour coordonnées (2, 2, 1) et il est clair que −→DE n’est pas colinéaire à −→n . Donc, le point E, bien qu’appartenant au plan (ABC), n’est pas le projeté orthogonal du point D sur le plan (ABC).
3) On a −→AB(−2, 0, −4) et
−→CD(−2, −1, 1). Donc
−→AB.
−→CD = (−2)×(−2)+0×(−1)+(−4)×1 = 4−4 = 0. Donc les vecteurs
−→AB et
−→CD sont orthogonaux, ou encore, les droites (AB) et (CD) sont orthogonales.
4) Soit (∆) la droite dont un système d’équations paramétriques est



x = −1 + 2t y = −1 + t z = 1 − t
, t ∈ R. S’il existe un réel t tel que



3 = −1 + 2t
1 = −1 + t
−3 = 1 − t
, alors la première égalité impose t = 2 et la dernière impose t = 4. Ceci est impossible. Donc, C n’est pas un point de (∆) ou encore



x = −1 + 2t y = −1 + t z = 1 − t
, t ∈ R, n’est pas un système d’équations paramétriques de la droite (CD).
5) Le vecteur
−→AI a pour coordonnées (−7
5
, 0, −
14
5
) et le vecteur
−→AB a pour coordonnées (−2, 0, −4).
Donc,
−→AI =
7
10
−→AB. Ainsi, les vecteurs −→AI et
−→AB sont colinéaires, ou encore, I est sur la droite (AB).