2. Analyse des essais de Treolar

Question 1

Pour que la loi de comportement d’un matériau soit totalement caractérisée par la donnée de son énergie libre en fonction des invariants, il faut qu’il soit homogène, élastique, linéaire et incompressible.
Question 2

La transformation est isochore, on a donc : . Soit, comme :

Question 3

Comme, on en déduit : d’ ou :

Question 4

Le tenseur des contraintes de Piola est donné par la loi de comportement élastique :

La liaison interne est l’isochorie, on a donc : soit, .
On a donc finalement : . D’après les formules de dérivations des invariants (p 380), on en déduit l’expression du tenseur des contraintes de Piola :

La relation entre le tenseur des contraintes de Cauchy et le tenseur des contraintes de Piola étant : , on en déduit (par multiplication) l’expression du tenseur des contraintes de Cauchy :

Car, .
Question 5

Le tenseur des contraintes satisfait l’équilibre s’il respecte les conditions aux limites.

et

Pour pouvoir calculer , il faut trouver . Comme pour l’état de contrainte dans le ballon à sculpter, on va supposer négligeable devant et , qui est une hypothèse plausible car aucune contrainte n’est appliquée suivant .
Posons :, on a donc :
On a de même :
On en déduit l’expression des contraintes et :

Les conditions aux limites imposent donc :

Soit :

Avec le même calcul sur la face verticale on obtient :

Question 6

Dans le cas de la traction simple, comme , on en déduit que , soit, comme on suppose que et sont positifs et nous tous nul :
On a donc : .
Dans le cas de la traction plane, on a , soit .
Dans le cas de la traction équibiaxiale, on a , soit .
On peut donc exprimer tous les paramètres du problème en fonction de .

Les valeurs des différents paramètres sont représentés dans le tableau ci-dessous.

TS
TP
TEB

Question 7