graphes

Pages: 8 (1794 mots) Publié le: 1 janvier 2015
Domaine : Combinatoire
Niveau : Débutants
Contenu : Cours et exercices

Auteur : Guillaume Conchon-Kerjan
Stage : Montpellier 2014

Graphes

Introduction

Le petit cours donné ici peut être fructueusement approfondi en lisant le polycopié de Pierre BORNSZTEIN, "Cours - Théorie des graphes" (2003), tant pour
les détails des preuves que la profusion d’exemples et exercices.
Qu’est-cequ’un graphe ? Tout simplement la donnée de sommets, qui sont reliés
entre eux par des arêtes (pas forcément droites). On peut l’écrire plus formellement comme ça :
Définition 1. Un graphe G est un couple (S(G), A(G)), où les x ∈ S(G) sont les
sommets du graphe, et les éléments de A(G), de la forme (x, y) avec x, y ∈ S(G),
en sont les arêtes.
Plus concrètement, on le représente (de manière nonunique) dans le plan par
un dessin :
E


D

•C


A


B

Exemple 2. Ici, S(G) = {A, B, C, D, E} et A(G) = {(A, B), (A, D), (C, E)}.
On peut imaginer que ce sont des personnes, reliées par une arête si et seulement
si elles se connaissent.

1

On appelle sous-graphe d’un graphe une partie de celui-ci : on garde certains
sommets, et certaines arêtes qui les relient. Laseule restriction est qu’on ne peut
garder une arête dont au moins une extrémité a été enlevée.
Un chemin est une suite d’arêtes voisines, reliant deux sommets. On parle de
cycle lorsque le chemin arrive là ou il est parti. Un graphe est dit connexe
lorsqu’il y a toujours un chemin entre deux sommets quelconques de celui-ci.
Remarques 3. • On supposera ici qu’il n’y a qu’un nombre fini desommets,
autrement dit que les graphes sont finis.
• On sous-entendra de plus, sauf mention du contraire, que les arêtes sont nonorientées ((A, B) = (B, A)) et ne sont pas multiples : au plus un trait peut
relier deux sommets.
On appelle degré d’un sommet le nombre d’arête qui en sortent. Remarquons
que chaque arête contribue pour un pour les degrés de deux sommets. Ce qui
permet d’établir lerésultat suivant :
Lemme 4. Poignées de main Dans tout graphe, il y a un nombre pair de sommets
de degré impair.
Démonstration. En effet, la somme des degrés des sommets vaut deux fois le
nombre d’arêtes. Il y a donc bien un nombre pair de termes impairs dans cette
somme.
Formulons cela différemment :
Exercice 1
Lors d’une soirée, certaines personnes se serrent la main. Montrer que le nombrede personnes ayant serré un nombre impair de mains est pair. Une autre propriété
utile :
Exercice 2
Montrez qu’au cours de la soirée, deux personnes ont serré le même nombre de
mains.
Structure d’un graphe

Ici, on regarde quelle peut être la tête d’un graphe. Déjà, peut-on le dessiner
dans le plan, c’est-à-dire sans que deux arêtes ne se croisent ? Il y a un exemple
bien connu où c’estimpossible.
2

Exemple 5. Il était une fois trois isbas perdues au fin fond de la taïga sibérienne.
Un château d’eau, une usine de gaz et une centrale électrique traînaient non
loin de là. Il fallait relier les trois pauvres habitations à chacun des trois autres
bâtiment. Hélas, personne n’y est jamais arrivé sans que deux conduites ne se
superposent...
On va généraliser un peu tout ça.Définition 6. On dit qu’un graphe est planaire lorsqu’il existe une manière de
le dessiner dans le plan sans que deux arêtes ne se croisent.
On appelle Kn le graphe complet à n sommets, c’est-à-dire qu’entre deux sommets il y a toujours une arête.
On appelle Kn,m le graphe à n + m sommets tel que n de ceux-ci soient chacun
reliés à tous les m autres et qu’il n’y ait aucune autre arête.
Parexemple, le graphe précédent était K3,3 . Et on a un super-théorème :
Théorème 7. (Kuratowski)
Un graphe est planaire si et seulement si aucun de ses sous-graphes n’est K5 ou
K3,3
La démonstration n’est vraiment pas facile.
Nous connaissons maintenant les graphes complets, regardons à l’inverses des
graphes avec peu d’arêtes :
Définition 8. On appelle arbre à n sommets un graphe connexe avec...
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