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Pages: 18 (4351 mots) Publié le: 3 janvier 2015
Exercices supplémentaires : Loi binomiale
Partie A : Loi binomiale
Exercice 1
Dans une région pétrolifère, la probabilité qu’un forage conduise à une nappe de pétrole est 0,1.
1) Justifier que la réalisation d’un forage peut être assimilée à une épreuve de Bernoulli.
2) On effectue 9 forages.
a. Quelle hypothèse doit-on formuler pour que la variable aléatoire correspondant au nombre deforages qui ont conduit à une nappe de pétrole suive une loi binomiale ?
b. Sous cette hypothèse, calculer la probabilité qu’au moins un forage conduise à une nappe de
pétrole. En donner la valeur à 10 près.
Exercice 2
Un constructeur de composants produit des résistances. La probabilité qu’une résistance soit défectueuse est égale
à 5 × 10 .
Dans un lot de 1000 résistances, quelle est laprobabilité d’avoir
a. Exactement deux résistances défectueuses ?
b. Au plus deux résistances défectueuses ?
c. Au moins deux résistances défectueuses ?
Exercice 3
Une classe compte 30 élèves dont 20 filles. A chaque cours de mathématiques, le professeur interroge au hasard un
élève de la classe, sans se rappeler quels élèves il a déjà interrogés.
On considère un entier positif ou nul et on notela variable aléatoire qui correspond au nombre de filles
interrogées au cours de jours consécutifs.
1) Quelle est la loi de ?
2) Quelle est la probabilité que sur 10 jours consécutifs, soient interrogées 4 filles exactement ? au moins 4
filles ?
3) Quel doit être le nombre minimal de cours consécutifs pour que la probabilité qu’aucune fille ne soit
interrogée soit inférieure à 0,001 ?Exercice 4
Afin de créer une loterie, on place dans une urne boules différentes ( ≥ 3) dont deux et deux seulement sont
gagnantes. On choisit au hasard deux boules de l’urne en remettant la première boule tirée avant d’en tirer une
seconde.
1) On suppose dans cette question que = 10. désigne la variable aléatoire qui donne le nombre de boules
gagnantes parmi les deux choisies. Déterminer la loide probabilité de .
2) On revient au cas général. Calculer la probabilité d’avoir exactement une boule gagnante parmi les deux.
Exercice 5
On considère une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres 20 et 0,4.
1) Calculer
=3 ;
= 17 ;
= 10 .
2) Calculer
≤1 ;
≥ 18 ;
≤ 15 et
≥ 10 .
Exercice 6
On considère une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres 50et 0,03.
1) Calculer
=3 ;
= 17 ;
= 10 .
2) Calculer
≤1 ;
≥ 48 ;
≤ 15 et
≥ 10 .

Partie B : Coefficients binomiaux
Exercice 1
et en donner la valeur.
1) Interpréter
= 15. En déduire
2) On suppose connu que
3) Comment obtenir facilement
?

.

Exercice 2
Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
1) ! =
2) "# = 2
3) ! = 3 "
Exercice 3
Donner les valeurssans calculatrice :

Exercice 4
Calculer avec la calculatrice :

25
23
15
2013
$ % ; $ % ; $ % ; $
%
0
22
15
1

52
24
13
2013
$ % ; $ % ; $ % ; $
%
4
20
7
2000

Exercice 5
A l’aide du triangle de Pascal, démontrer que

+

+

#

+

+

=

Exercice 6
A l’aide du triangle de Pascal, donner les valeurs de
6
6
6
6
$ % ; $ % ; $ % et$ %
2
3
4
5

Partie C : Espérance et variance d’une loi binomiale
Exercice 1
Un élève se rend à vélo au lycée distant de 3 km de son domicile à une vitesse supposée constante de 15*+. ℎ .
Sur le parcours, il rencontre 6 feux tricolores non synchronisés. Pour chaque feu, la probabilité qu’il soit au vert est .
Un feu rouge ou orange lui fait perdre une minute et demie. On appelle lavariable aléatoire correspondant au
nombre de feux verts rencontrés par l’élève sur son parcours et . la variable aléatoire égale au temps en minute
mis par l’élève pour aller au lycée.
1) Déterminer la loi de probabilités de .
2) Exprimer . en fonction de .
3) Déterminer / . et interpréter ce résultat.
4) L’élève part 17 minutes avant le début des cours.
a. Peut-il espérer être à l’heure ?...
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