Activité : Introduction à la fonction logarithme népérien.

1°) Définition – courbe représentative.

Définition (bijection) : On dit qu’une fonction f définie sur un intervalle I réalise une bijection de I sur J = f(I), si tout réel y de J possède un unique antécédent x appartenant à I. C’est le cas en particulier de toute fonction f dérivable et strictement monotone sur un intervalle I, qui réalise une bijection de I sur f(I).

Définition : Soit f une fonction réalisant une bijection d’un intervalle I sur J = f(I) ; Tout réel y∈J admettant un unique antécédent par f, on peut construire à partir de f une nouvelle fonction définie sur J, qui à tout réel y de J associe son antécédent x par f. Cette fonction est appelée la réciproque de f ; on la note f –1 ; elle réalise une bijection de J sur I : f → x = f −1 ( y ) ← y = f ( x) −1 f

Application : La fonction exponentielle est une bijection de IR sur IR+* = ]0 ; +∞[. On appelle fonction logarithme népérien sa bijection réciproque, notée ln. La fonction ln est donc définie sur ]0 ; +∞[, et associe à tout réel x strictement positif l’unique réel y tel que ey = x.

Conséquences : i ln(1) est l’antécédent de 1 par la fonction exponentielle, donc ln(1) = 0 . i Si x > 0 et y∈R, on a : ln x = y ⇔ x = ey .

Exercice : La courbe représentée dans le repère orthonomé ci-dessus est celle de la fonction exponentielle. On notera c cette courbe, et c’ la courbe représentative de la fonction logarithme népérien dans le même repère. d est la droite d’équation y = x. 1°) a) Donner par lecture graphique, la valeur arrondie au dixième des antécédents par la fonction exponentielle des réels 0,2 ; 0,6 ; 1 ; 1,5 ; 2 ; 4 ; 6. Placer les points M, N, P, Q, R, S et T de c d’ordonnées respectives 0,2 ; 0,6 ; 1 ; 1,5 ; 2 ; 4 ; 6. b) En déduire la position des points M’, N’, P’, Q’, R’, S’ et T’ de c’ d’abscisses respectives 0,2 ; 0,6 ; 1 ; 1,5 ; 2 ; 4 ; 6. 2°) a) Plus généralement, soit x un réel strictement positif. Exprimer