Cour l1 maths : fonctions de plusieurs variables
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Chapitre 1FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES
1 Définitions et notations
Tout n-uplet de réels (x1, x2, ..., xn) correspond dans l’espace à n dimensions noté
Rn :
* à un point X (x1, x2, ..., xn) * à un vecteur colonne X =
x1 x2
...
xn
Une fonction numérique f de n variables réelles est une application d’un ensemble Df inclus dans Rn dans R .
Elle fait correspondre à tout n-uplet de réels X= (x1, x2, ..., xn) une image réelle y = f(X) = f(x1, x2, ..., xn)
1.1 Exemple
L’étude de la demande de bière en Angleterre par R.STONE a mis en évidence la formule: y = 1, 058. x0,136
1 . x−0,727
2 .x0,194
3 . x0,81
4
avec: y = consommation de bière ; x1 = consommation totale d’un individu ; x2 = prix de la bière ; x3 = indice général des prix ; x4 = degré alcoolique de la bière
1.2 Exemple
En statistique descriptive, les n observations d’une variable statistique X donnent des calculs de grandeurs qui sont des fonctions de n variables réelles comme:
* moyenne arithmétique ¯xA = 1 n(x1 + x2 + ... + xn) = 1 n n i=1 xi
* moyenne géométrique ¯xG = (x1 × x2 × ... × xn)1/n = (
n
i=1 xi)1/n * moyenne harmonique ¯xH = 1
1
n
(
1 x1 +
1
x2
+...+
1 xn )
= 1
1
n
n
i=1
1
xi
1
1.3 Exemple : fonctions usuelles en SES
* fonction affine f(x1, x2, ..., xn) =
n
i=1 aixi + b = a1x1 + a2x2 + ... + anxn + b où b et les ai sont des constantes réelles.
* fonction de Cobb-Douglas f(x1, x2, ..., xn) = A xa1
1 xa2
2 ... xan n = A
n
i=1 xai i
2 Théorème de Schwarz
Si les dérivées secondes croisées d’une fonction f de n variables sont définies et continues en un point X alors elles sont égales en ce point: 2f xi xj
(X) = 2f xj xi
(X)
3 Matrice hessienne
3.1 Définition et notations
Soit une fonction f de Rn dans R de classe au moins C2. Les dérivées secondes croisées vérifient donc la formule de Schwarz précédente.
La fonctionmatricielle de X appeléeD2f fait correspondre à tout point X0(x1, x2, ...,