Remarque : Il ne faut pas confondre avec la vitesse moyenne entre et qui est .

II. Fonction dérivée
1. Définition
La fonction dérivée est la fonction .

Remarque : il ne faut pas confondre le nombre dérivé et la fonction dérivée (comme il ne faut pas confondre et ).

2. Propriétés
Si et sont deux fonctions dérivables sur le même ensemble D, alors les fonctions suivantes sont dérivables et : pour , réels quelconques

, aux points tels que
, aux points tels que () ()
Si , , réels quelconques

Propriété 4
Une fonction paire a une dérivée impaire.
Une fonction impaire a une dérivée paire.

Remarque : utiliser cette propriété comme vérification lorsqu'on dérive une fonction paire ou une fonction impaire.

3. Dérivées usuelles

() () /

III. Utilisation des dérivées
1. Sens de variation d'une fonction
Théorème 3
Soit une fonction dérivable sur un intervalle I. Alors : est croissante sur I ssi pour tout I, . est décroissante sur I ssi pour tout I, . est constante sur I ssi pour tout I, .

Remarque : ce théorème n'est valable que sur un intervalle. Par exemple la fonction est décroissante sur et sur , mais pas sur .

2. Lien avec la notion de bijection
Théorème 4
Soit une fonction dérivable sur l'intervalle [a, b]. Si, pour tout ]a, b[, , alors réalise une bijection strictement croissante de [a, b] sur [(a), (b)]. Si, pour tout ]a, b[, , alors réalise une bijection strictement décroissante de [a, b] sur [(b), (a)].

Remarque : On peut remplacer (a) par et [a, b] par ]a, b], [(a), (b)] par ], (b)], lorsque n'est pas définie en a mais admet en a une limite (finie ou infinie). si est la bijection réciproque, alors a le même sens de variation que .

3. Extrema d'une fonction
Théorème 5
Soit une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant .
Si s'annule en changeant de signe en , alors admet un extremum en .

Remarque