Kirat

Pages: 34 (8399 mots) Publié le: 4 août 2013
Université Mohammed V - Agdal Faculté des Sciences Département de Mathématiques et Informatique Avenue Ibn Batouta, B.P. 1014 Rabat, Maroc Filière DEUG : Sciences Mathématiques et Informatique (SMI) et Sciences Mathématiques (SM) Module Mathématiques I Analyse I Chapitre I : SUITES NUMERIQUES

Par Saïd EL HAJJI Groupe d’Analyse Numérique et Optimisation Email : elhajji@fsr.ac.ma et Samir HAKAMEmail : s-hakam@fsr.ac.ma

Année 2003-2004

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Chapitre I : SUITES NUMERIQUES1 Objectif du chapitre : 1) Donner la définition d’une suite et utiliser les notations adéquates 2) "Déterminer" le terme général d’une suite 3) Utiliser les raisonnements par l’absurde et par récurrence 4) Etudier la monotonie d’une suite. 5) Etudier la nature d’une suite 6) Résoudre certains exercices et problèmesimplicant des suites. Plan du chapitre : 1) Corps des réels : 1.1 : Notion de fonctions et notations. 1.2 : Construction sommaire de R. 2) Suites numériques: 2.1 : Définitions et notations. 2.2 : Suites particulières. 2.3 : Suites monotones (croissance ou décroissance) 2.4 : Nature (convergence ou divergence) d’une suite 2.5 : Etude de suites particulières.

1) Corps des réels : 1.1 : Notion defonctions et notations. On suppose acquise la notion intuitive d’ensemble. On détermine un ensemble E en explicitant ses éléments ou par compréhension E = {x / x vérifie une propriété (P )}. Exemple : Si E1 = {1, 2, 3, 4} alors E2 = {x ∈ E1 / x vérifie 2 ≤ x ≤ 5} est dite expression par compréhension E2 = {2, 3, 4} est dite expression explicite Soit E un ensemble, on dit que A est une partie (ou unsous ensemble) de E si tout élément de A est un élément de E. On dit aussi que A est inclus dans E et on note A ⊂ E. A ⊂ E ⇐⇒ (∀x, x ∈ A ⇒ x ∈ E)
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Remarque : Le symbole ∈ dénote l’appartenance. x ∈ E ⇐⇒ {x} ⊂ E. La notation x ∈ x n’a pas de sens ! Définition : Une fonction f d’un ensemble A vers un ensemble B, on note f : A → B, est une rélationqui à chaque élément de A associe au plus plus un seul élément de B. On exprime une fonction de A vers B sous la forme: ½ f :A→B x 7−→ f (x) A est appelé l’ensemble de départ et B l’ensemble d’arrivée de la fonction f . De plus, l’ensemble des éléments de A qui possédent une image s’appelle le domaine de f (noté dom(f ) ou Df ) et l’ensemble des éléments de B qui sont des images, s’appelle image def (noté im(f ) ou Im(f )). Ainsi dom(f ) ⊆ A et im(f ) ⊆ B. De facon générale, lorsque on détermine le domaine d’une fonction, il faut exclure du dom(f ) les valeurs : a) qui annulent le dénominateur de la fonction f b) qui donnent une quantité négative sous une racine paire c)... ainsi dom(f ) est l’ensemble des éléments de A , pour lesquels f (x) existe c’est à dire (noté càd ou i.e.) estcalculable. Si f : A → B, on note dom(f ) = {x ∈ A / f (x) existe} . Exemples : x 1) Soit f : x 7−→ f (x) = √9−3x ∈ R 6 Puisque on ne peut pas diviser par 0 ni extraire la raciune sizième d’un nombre négatif, alors : dom(f ) = {x ∈ R / (9 − 3x) 6= 0 et (9 − 3x) ≥ 0} càd dom(f ) = {x ∈ R / (9 − 3x) Â 0} = {x ∈ R / x ≺ 3} que l’on écrit sous la forme dom(f ) = ]−∞, 3[ . 2) Soit f : x 7−→ f (x) = ln(− |x|)On a : dom(f ) = ∅ ! 1.2 : Construction axiomatique de R et Propriétés de base 2 : a) Construction sommaire et axiomatique du corps des Réels L’ensemble N ( noté aussi N ou IN ) = {0, 1, 2, 3, ...} , dit ensemble des nombres entiers naturels ou des entiers naturels, a été introduit pour compter. L’ensemble Z (noté aussi Z ou IZ)= {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...} , dit ensemble des nombresrelatifs ou des entiers relatifs, a été introduit pour résoudre l’équation : b + x = a où a et b sont des entiers naturels. L’ensemble Q ( noté aussi Q ou IQ) , dit ensemble des nombres rationnels, a été introduit pour résoudre l’équation : b x = a où a et b sont des nombres relatifs
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avec b 6= 0. Par définition si x ∈ Q alors x = p où p et q sont des...
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