LE LEMME DE BAIRE.
Gilles Godefroy
Institut de Mathématiques de Jussieu godefroy@math.jussieu.fr Voici exactement cent ans, René Baire mettait la dernière main à la version écrite (rédigée par un jeune normalien, Arnaud Denjoy) de son Cours Peccot, enseigné au Collège de France en 1903/1904, et le 22 septembre 1904 il en signait la préface. Où en était l’analyse en ce début de vingtième siècle?
Rappelons-nous qu’à l’époque les travaux révolutionnaires, et controversés, de Georg …afficher plus de contenu…

Fils de pasteur, il a parcouru la carrière sco- laire éblouissante d’un enfant prodige, constamment premier. En 1897, trois ans après avoir soutenu sa thèse, il est déja mâıtre de conférences à l’école Normale
Supérieure, et il enseigne aux jeunes normaliens les subtilités de la théorie des fonctions d’une variable réelle, où la théorie des ensembles est fortement solli- citée. Deux de ses auditeurs vont eux aussi laisser leur nom dans l’histoire. Le premier s’appelle Henri Lebesgue, il va développer deux ans plus tard sa théorie de l’intégration tout en enseignant en classe préparatoire à l’école Centrale à
Nancy. Selon ses dires,“ma théorie de l’intégration...date de l’époque où …afficher plus de contenu…

Des exemples très simples montrent que le comportement de la suite peut dépendre de façon très irrégulière du premier terme u0, même si f est polynomiale. Il s’agit là d’une situation de nature expérimentale, et avec une bonne calculette les élèves comme les enseignants peuvent déja s’amuser. Pourtant le Grand
Théorème n’est pas si loin: si f est continue, la limite de la suite quand elle existe est bien sûr une fonction de u0 (en général non continue!) qui est limite de la suite de fonctions continues fn = f ◦ f ◦ ... ◦ f (n fois). Attention, nous voici repartis vers l’infini, il vaut peut-être mieux dire aux jeunes “passe ton
Bac d’abord, l’infini ce sera pour plus tard”! Je ne sais pas...Qu’en pensez-vous?