D ÉMONSTRATION DU THÉORÈME DE L A DROITE DES MILIEUX
Dans le triangle ABC ci-contre :

A

• le point I est le milieu du côté [AB],
• le point J est le milieu du côté [AC].
On veut démontrer, prouver que la droite (IJ) est pa-

I

J

rallèle à la droite (BC). Pour cela, placer sur la figure le point K, symétrique du point I par rapport au point J,

C
B

et répondre aux questions suivantes :
1. a) Compléter le schéma de démonstration suivant :

b) Compléter le texte suivant :
D’une part, comme K est le symétrique de I par rapport à J, on peut affirmer que . . . est le milieu de [. . . . . . ].
D’autre part, d’après l’énoncé, . . . est également le milieu de [. . . . . . ].
Le quadrilatère AKCI a donc ses diagonales ([. . . . . . ] et [. . . . . . ]) qui se coupent en leur milieu (. . . ).
Le quadrilatère AKCI est donc un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Or, dans un parallélogramme, les côtés opposés sont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . et de même . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nous pouvons donc affirmer que (KC) est parallèle à (. . . . . . ) et que KC= . . . . . . .
2. a) Compléter le schéma de démonstration suivant :
4ème

Activité CH 2

Page 1

b) Compléter le texte suivant :
On sait que I est le milieu de [AB], et donc on peut affirmer que AI= . . . . . .
Par ailleurs, on a vu dans la question 1 que AI= . . . . . .
Par conséquent, on a . . . . . . = . . . . . .
De plus on a vu dans la question précédente que (. . . . . .) est parallèle à (. . . . . .).
Comme les points A, I et B sont alignés, cela revient à dire que les droites (. . . . . .) et . . . . . .) sont parallèles. Pour résumer, on a KC=IB d’une part, et (KC) est parallèle à (IB) d’autre part ; autrement dit, le quadrilatère IBCK a deux côtés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . et de même . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . :
IBCK est donc un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .