le nombre pi

Pages: 5 (1131 mots) Publié le: 22 octobre 2014
1) Définition de π :

C'est le nombre par lequel il faut multiplier le diamètre du cercle pour obtenir sa circonférence. Autrement dit, c'est le rapport de la circonférence du cercle par son diamètre.
Le périmètre du cercle est P = π × d où d est le diamètre.
On a aussi P = 2 × π × r où r est le rayon du cercle.

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2) Origine de la lettre π :

Cerapport de la circonférence du cercle par son diamètre ne porta pas de nom pendant des siècles.
Ludolph von Ceulen (vers 1600), William Oughtred (en 1647), Isaac Barrow (en 1670) utilisent la lettre π pour désigner le périmètre d'un cercle de diamètre 1.
C'est l'anglais William Jones, en 1706, qui utilise la lettre π en premier pour représenter le rapport de la circonférence du cercle par sondiamètre.
π est le première lettre du mot grec "periphereia" (circonférence) et de "perimetros" (périmètre).
Ce nom est adopté et vulgarisé par le suisse Leonhard Euler en 1748.

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3) L'étude de π en tant que nombre :

C'est seulement au XVIIème siècle que ce rapport, pour lequel on donnait déjà des valeurs approchées, commence à être considéré comme un nombre.
En1761, le suisse Lambert démontre que π est irrationnel, c'est à dire qu'on ne pourra jamais l'écrire sous la forme d'une fraction de deux nombres entiers.
En 1882, l'allemand Ferdinand von Lindemann démontre que π est transcendant, c'est à dire qu'il n'est solution d'aucune équation algébrique avec des coefficients entiers. Il établit donc enfin l'impossibilité de la fameuse "quadrature ducercle" (problème qui se pose depuis l'Antiquité).

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4) Les cent premières décimales de π :

π ≈ 3, 14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679

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5) Certaines approximations de π :

Depuis l'Antiquité jusqu'à aujourd'hui, on essaie de donner uneapproximation du nombre π.
Voici un tableau donnant une idée de l'évolution de ces approximations :
Nom du mathématicien ou de la civilisation Valeur de π Nombre de décimales exactes Date du calcul
Babylone 3 + 1/8 ≈ 3,125 1 − 1900
Egypte (4/3)4 ≈ 3,160 1 − 1600
Chine 3 0 − 1200
Bible 3 0 − 550
Archimède (grec) 3,14185 3 − 250
Hon Han Chu (chinois) √10 ≈ 3,16 1 130
Ptolémée (grec)377/120 ≈ 3,1416 3 150
Wang Fau (chinois) 142/45 ≈ 3,15 1 250
Liu Hui (chinois) 3,14159 5 260
Tsu Chung Chih (chinois) 355/113 ≈ 3,141592 6 480
Aryabhata (indien) 3,14156 4 500
Brahmagupta (indien) √10 ≈ 3,16 1 640
Al Khwarizmi (arabe) 22/7 ≈ 3,1428 ; 3,1416 3 800
Fibonacci (italien) 864/275 ≈ 3,1418 3 1220
Al Kashi (arabe) 16 1430
Von Lauchen (allemand) 3,14159265 8 1550
Viète(français) 3,1415926536 9 1593
Romanus (hollandais) 15 1593
Van Ceulen (hollandais) 34 1609
Grienberger 39 1630
Sharp 71 1699
Machin (anglais) 100 1706
Dase (anglais) 200 1844
Shanks (anglais) 528 1873
Wrench et Fergusson 808 1948
Reitwiestner (Etats-Unis) 2 037 1949
Genuys 10 000 1958
Wrench et Shanks 100 265 1961
Guilloud et Bouyer 1 001 250 1973
Kanada et Tamura 1073 741 799 1994
Kanada et Takahashi 50 milliards 1997
Equipe de Kanada (Japon) 1 241 milliards 2002
On peut se demander quelle est l'utilité d'une telle recherche des décimales du nombre π. Il y a des intérêts immédiats qui sont la recherche de nouveaux outils mathématiques, la mise au point d'algorithmes rapides et un très bon test pour juger de la puissance des ordinateurs. Mais, il y asans doute l'envie même de la recherche de l'infini...

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6) Exemples de méthodes pour trouver une valeur de π :

Le grec Archimède , en 250 avant JC, est le premier à donner une façon de calculer π. Il a écrit un traité sur la mesure du cercle où il calcule le rapport de la circonférence sur le diamètre.
Pour cela, il encadre un cercle par deux...
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