L’aiguille de Buffon
C’est en 1777 qu’a lieu la première apparition inattendue du nombre π en calcul des probabilités. Le comte Leclerc de Buffon (plus connu comme naturaliste) soulève le problème suivant : « si on lance une aiguille de longueur ℓ sur un parquet dont les lames sont de largeur a , quelle est la probabilité p pour que l’aiguille tombe à cheval sur 2 lames ? ». Vocabulaire Pour résoudre ce problème, adoptons un vocabulaire probabiliste : • • • • un lancer d’aiguille est appelé expérience aléatoire, l’ensemble des lancers d’aiguille possibles est noté une application X au départ de , c’est notre espace de probabilité, est appelée variable aléatoire.,

la valeur moyenne d’une variable aléatoire X est appelée espérance de celle-ci et est notée E (X ) .

Par exemple, l’application X , qui à un lancer ω associe 1 s’il y a chevauchement et 0 sinon est une variable aléatoire (dite de Bernoulli, car elle ne prend que pour seules valeurs 0 et 1). Son espérance est (1− p )× 0 + p ×1 = p car elle prend la valeur 0 avec la probabilité 1− p et la valeur 1 avec la probabilité p . Résolution du problème Dans premier temps on suppose ℓ ≤a et on se donne  a Posons d ∈  0,  la distance du milieu de l’aiguille à la lame la plus proche et posons  2  un un a lancer ω.

 π π θ ∈ − ,  une mesure de l’angle que fait l’aiguille avec la direction ℓ 2  2 2  orthogonale à celle des lames. Les applications ω ֏ d et ω ֏ θ sont des variables aléatoires. Celles-ci sont susceptibles de prendre n’importe quelles  a  π π d valeurs dans les intervalles respectifs 0,  et − ,  sans qu’aucunes de ces  2   2 2  valeurs ne soient plus probables que d’autres (on dit que ce sont des variables aléatoires uniformes). Lorsque d et θ sont connus, nous pouvons assurer qu’il y a aura chevauchement ssi Traçons alors la courbe Γ représentant le fonction θ ֏  π π  a  P = − ,  ×  0,  .  2 2   2  A un lancer d’aiguille correspond un point de