Le sous sol africain
1158 mots
5 pages
L’aiguille de BuffonC’est en 1777 qu’a lieu la première apparition inattendue du nombre π en calcul des probabilités. Le comte Leclerc de Buffon (plus connu comme naturaliste) soulève le problème suivant : « si on lance une aiguille de longueur ℓ sur un parquet dont les lames sont de largeur a , quelle est la probabilité p pour que l’aiguille tombe à cheval sur 2 lames ? ». Vocabulaire Pour résoudre ce problème, adoptons un vocabulaire probabiliste : • • • • un lancer d’aiguille est appelé expérience aléatoire, l’ensemble des lancers d’aiguille possibles est noté une application X au départ de , c’est notre espace de probabilité, est appelée variable aléatoire.,
la valeur moyenne d’une variable aléatoire X est appelée espérance de celle-ci et est notée E (X ) .
Par exemple, l’application X , qui à un lancer ω associe 1 s’il y a chevauchement et 0 sinon est une variable aléatoire (dite de Bernoulli, car elle ne prend que pour seules valeurs 0 et 1). Son espérance est (1− p )× 0 + p ×1 = p car elle prend la valeur 0 avec la probabilité 1− p et la valeur 1 avec la probabilité p . Résolution du problème Dans premier temps on suppose ℓ ≤a et on se donne a Posons d ∈ 0, la distance du milieu de l’aiguille à la lame la plus proche et posons 2 un un a lancer ω.
π π θ ∈ − , une mesure de l’angle que fait l’aiguille avec la direction ℓ 2 2 2 orthogonale à celle des lames. Les applications ω ֏ d et ω ֏ θ sont des variables aléatoires. Celles-ci sont susceptibles de prendre n’importe quelles a π π d valeurs dans les intervalles respectifs 0, et − , sans qu’aucunes de ces 2 2 2 valeurs ne soient plus probables que d’autres (on dit que ce sont des variables aléatoires uniformes). Lorsque d et θ sont connus, nous pouvons assurer qu’il y a aura chevauchement ssi Traçons alors la courbe Γ représentant le fonction θ ֏ π π a P = − , × 0, . 2 2 2 A un lancer d’aiguille correspond un point de