CONCOURS D’ADMISSION A L’ESM DE SAINT-CYR EN 1993

MATHÉMATIQUES I

Options M, P, T, TA
Durée : 4 heures

Calculatrice interdite

Dans l’appréciation des copies, il sera tenu compte de la rigueur des raisonnements, de la précision de la rédaction, ainsi que de la présentation. Le candidat pourra, à condition de l’indiquer clairement, admettre un résultat afin de traiter les questions suivantes. Les copies mal rédigées ou mal présentées le sont au risques et périls du candidat. La formule de Stirling, hors-programme, ne devra pas être utiisée. Pour tout réel x, E(x) désignera la partie entière de x, c’est-à-dire le plus grand entier k inférieur ou égal à x, donc tel que : k ≤ x < k + 1. Par abus de langage, on confondra « application polynomiale » et « polynôme ». 0, n désignera l’ensemble des entiers k tels que : 0 ≤ k ≤ n.

PREMIÈRE PARTIE

Rn [X] désigne l’espace vectoriel réel des polynômes de degré inférieur ou égal à n, n étant un entier naturel non nul. 1 - Si x0 , x1 , x2 , . . . , xn sont (n + 1) réels distincts, montrer que les polynômes définis par : n Li (x) = j=0 j=i

(x − xj ) , pour i ∈ 0, n forment une base de Rn [X]. (xi − xj )

2 - On donne de plus (n + 1) réels : y0 , y1 , y2 , . . . , yn . Montrer qu’il existe un et un seul polynôme L de Rn [X] tel que : ∀i ∈ 0, n , L(xi ) = yi . Ecrire L à l’aide des Li .

1

n

n

3- Calculer les sommes : i=0 Li (x) et i=0 xi Li (x).

4 - Soit φ la fonction définie sur R+ par : φ(t) =

1 , a désignant un réel strictement positif. Aux réels distincts t0 , t + a2 + t1 , t2 , . . . , tn de R , on associe les réels zi = φ(ti ), et le polynôme L de Rn [X] tel que : ∀i ∈ 0, n , L(ti ) = zi . (−1)n n Montrer que le coefficient du terme de plus haut degré de L est

.

ti + a2 i=0 On pourra calculer de deux façons la dérivée d’ordre n de L. 5 - Dans cette question, on suppose n impair (n = 2k + 1)). Si les points (xi ) et (yi ) sont tels que : ∀i ∈ 0, k , xn−i = −xi et