Les ensembles

13355 mots 54 pages
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ENSEMBLES, STRUCTURES ALGEBRIQUES
PLAN I : Vocabulaire 1) Règles usuelles et notations 2) Logique 3) Introduction à la démonstration 4) Fonctions, injections, surjections 5) Ensembles finis 6) Relation d'ordre a) Définition b) Ordre total, ordre partiel c) Majorant, minorant, maximum, minimum II : Structures algébriques 1) Loi de composition interne 2) Définition d'un groupe 3) Sous-groupe 4) Morphismes, Exemples 5) Propriétés des morphismes 6) Anneaux et corps Annexe I : ensembles dénombrables et non dénombrables Annexe II : axiomes I : Vocabulaire On rassemble ci-dessous un certain nombre de notions, introduites en cours d'année. Une étude exhaustive et directe de l'ensemble du chapitre serait particulièrement indigeste. Il vaut mieux se référer à tel ou tel paragraphe le moment venu. 1– Règles usuelles et notations i) A, B et C étant les parties d'un ensemble E, on note : A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B} (réunion de A et B) A ∩ B = {x | x ∈ A et x ∈ B} (intersection de A et B) A = {x | x ∉ A} (complémentaire de A) On prouvera en exercices les règles usuelles suivantes : A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (A ∩ B) = A ∪ B (A ∪ B) = A⊂B⇔ A∩ B⊂

A -1-

B

Ces règles s'appliquent à une réunion ou une intersection quelconque, finie ou non. Si I désigne un ensemble quelconque d'indices, on pose : x ∈ ∪ Ai ⇔ ∃ i, x ∈ Ai (x est dans l'un des Ai. ∃ signifie "il existe")

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