Exercice 1- 9 points Le but de cet exercice et d’établir , avec un minimum de calculs, le développement en série de Fourier De fonctions périodiques rencontrées en électricité.
1. On considère un entier naturel n strictement positif . Montrer que : [pic] et [pic].
2. On considère la fonction[pic]définie sur [pic], périodique de période 2 , telle que : [pic]
a. En utilisant le document réponse n°1 , à rendre avec la copie , tracer la courbe[pic]représentative de la fonction[pic]sur l’intervalle [pic]. b. On appelle[pic]la série de Fourier associée à la fonction[pic]. On note [pic]. Calculer [pic]. Donner les valeurs des coefficients [pic]et [pic] et en déduire que : [pic].
c. Calculer le carré de la valeur efficace de la fonction[pic], défini par : [pic].
d. Recopier et compléter, avec les valeurs exactes, le tableau suivant :

|[pic] |1 |2 |3 |
|[pic] | | | |
|[pic] | | | |

e. Donner une valeur approchée à [pic] près du nombre réel A défini par : [pic] 3. Soit[pic]définie sur [pic], périodique de période 2, dont la courbe représentative[pic]est tracée sur [pic] dans le document réponse n°1.

On admet que le développement en série de Fourier[pic]associé à la fonction[pic], est défini par : [pic]. Justifier que : [pic]
4. Soit [pic]et [pic] les fonctions définies sur[pic], périodiques de période 2, telles que :

[pic] et [pic] pour tout réel [pic].
a. Sur le document réponse n°1 , à rendre avec la copie , tracer les courbes [pic]et [pic] représentatives des fonctions [pic]et [pic] sur [pic].
b. On admet que les développements en séries de Fourier