Chapitre 1 : Nombre et numération
L’arithmétique : une question ancienne renouvelée par les progrès techniques et théoriques

Qu’est-ce que l’arithmétique?
Une modélisation symbolique particulière * L'arithmétisation et la mathématisation des situations consistent à élaborer des représentations symboliques quantifiées du réel puis à opérer (en suivant des règles précises) sur ces quantifications, de sorte que les résultats des opérations (arithmétiques) effectuées sur les représentations symboliques fournissent une approximation acceptable (dont le degré d'adéquation est fixé par ailleurs) des résultats qui seraient effectivement obtenus par application dans le réel d'actions correspondant aux transformations symboliques (accroissements, diminutions, répartitions, etc.) * Fayol, Devidal & Thevenot, 2005. CF 2012

En résumé :

Introduction: Comment nous utilisons les nombres
Trois usages * Usage nominal : « le bus 6 »; le code barre; un critère, la distinctivité; fonctionne comme un nom propre; * Usage ordinal: les objets concernés sont des éléments d’une progression; le nombre est utilisé pour déterminer le rang; l’ordre des éléments joue un rôle crucial; relation antiréflexive, asymétrique et transitive; * Usage cardinal: mise en correspondance entre les objets (= des ensembles) et les éléments de la suite des nombres (par comptage); nécessite que la suite (de 1 à n) ait au moins autant d’éléments que l’ensemble des objets à dénombrer et qu’elle soit organisée par la relation < (ou >); la position dans la suite N permet de déterminer la cardinalité;

Le nombre n’est pas une propriété des objets mais des ensembles; * Ensembles d’éléments discrets : correspondance terme à terme avec les éléments de la suite; * Entités continues (ou extensives : longueur, masse, volume): nécessité de définir une unité pour parvenir à un ensemble à dénombrer; problème de la mesure; * Mesure indirecte (température) : nécessité de