Méthode commentaire

Pages: 6 (1320 mots) Publié le: 14 février 2012
Correction du Devoir Commun 2010
Exercice 1

3 2 1

−3

−2

−1

1 −1 −2 −3

2

Cg Cf

• f (−2) = −1 • l’image de 1 par f est 2 • les antécédents de 2 par f sont −1 et 1 • l’ensemble des solutions de l’équation f (x) = −1 est {−2; 2} • l’ensemble des solutions de l’inéquation f (x) ≤ 2 est ] − ∞; −1] ∪ [1; +∞[ • l’ensemble des solutions de l’inéquation f (x) > g(x) est ] − 1; 2[ •l’équation de la droite représentant g est y = −x + 1 • On sait que l’expression de f (x) est de la forme : f (x) = ax2 + c Quel est le signe de a ? négatif Trouver à l’aide du graphique les valeurs de a et c. f (0) = 3 donc a × 02 + c = 3 c’est à dire : c = 3 f (1) = 2 donc a × 12 + c = 2, d’après le résultat précédent : a + 3 = 2 d’où a = −1 On obtient : f (x) = −x2 + 3

Exercice 2 1) x 2)On dresse le tableau des effectifs cumulés croissants : 73, 86 (à 0, 01 près)

battements/min. eff. cumulés

44 10

59 20

62 30

63 40

65 50

67 60

68 70

70 90

72 110

73 130

74 150

75 160

76 180

77 190

79 200

80 220

82 250

83 260

90 270

100 280

Il y a 280 valeurs dans la série statistique. Déterminer Q1 :

280 = 70 4 donc le premierquartile est la 70e valeur de la série ordonnée. Soit, d’après le tableau des effectifs cumulés croissants : 68. D’où : Q1 = 68

Cela signifie que le quart (25 %) de ce groupe d’individus a un rythme cardiaque inférieur à 68 battements par minute. Déterminer M : 280 = 140 2 donc la médiane se trouve entre la 140e valeur et la 141e valeur de la série ordonnée. Soit, d’après le tableau des effectifscumulés croissants : entre 74 et 74. D’où : M = 74 Cela signifie que la moitié (50 %) de ce groupe d’individus a un rythme cardiaque inférieur à 74 battements par minute. Déterminer Q3 : 3 280 × = 210 4 donc le troisième quartile est la 210e valeur de la série ordonnée. Soit, d’après le tableau des effectifs cumulés croissants : 80. D’où : Q3 = 80 Cela signifie que les trois quarts (75 %) de ce grouped’individus ont un rythme cardiaque inférieur à 80 battements par minute. 3)

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

100

4) En reprenant le tableau des effectifs cumulés croissants, on peut lire que 90 personnes sur 280 ont un rythme cardiaque inférieur ou égal à 70 battements par minute : 90 × 100 280 D’où le résultat : 32% 32 (arrondi à l’unité)

Exercice 3

E+

7 6 5 A
+ +

B

4 3 2 1 F
+

−4

−3

−2

−1

1 −1 −2 −3 −4 D
+

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

+

C

− − → Rappel : Soient deux points A(xA ; yA ) et B(xB ; yB ), les coordonnées du vecteur AB sont : − − → AB(xB − xA ; yB − yA ) 1) Soient (xD ; yD ) les coordonnées du point D. − − → −→ − D’après l’identité duparallélogramme, le quadrilatère ABCD est un parallélogramme si et seulement si AB = DC et donc si et − − → seulement si leurs coordonnées sont égales. On calcule les coordonnées du vecteur AB : − − → AB(3 − (−2); 5 − 4) − − → AB(5; 1) −→ − Ainsi que les coordonnées du vecteur DC en fonction de xD et yD : −→ − DC(6 − xD ; −2 − yD ) qui doivent donc vérifier : −2 − yD = 1 −→ − − → 2) On sait que ED = 3EAce qui équivaut à : −→ −→ − − − → D’après la relation de Chasles : DE = DA + AE D’où : 6 − xD = 5 c’est à dire : −2 − 1 = yD 6 − 5 = xD

D’où xD = 1 et yD = −3. Les coordonnées du point D sont bien (1; −3) −→ − − → DE = 3AE

−→ − − → − → DA + AE = 3AE −→ − − → DA = 2AE

Et donc − → 1 −→ − DA = AE 2 Soient (xE ; yE ) les coordonnées du point E. −→ − Avec le même raisonnement que précédemment,les coordonnées du vecteur DA sont (−3; 7) et donc les coordonnées du vecteur − 3 7 1 −→ DA sont (− ; ) 2 2 2 − → Par ailleurs, les coordonnées du vecteur AE sont (xE + 2; yE − 4) et vérifient :     xE + 2 = − 3  xE + 4 = − 3  xE = − 3 − 4    2 2 2 2 2 c’est à dire : donc :     yE − 4 = 7  yE − 8 = 7  yE = 7 + 8 2 2 2 2 2 D’où : 7 15 E − ; 2 2 3) Soient (xF ; yF ) les...
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