Corrigé de l’ex 123 page 27
Première partie
1°) f est définie sur [0 ; 40] par f (x) = 0,4x + 5 – 2,8 ln (x + 2)
2,8 0,4 (x + 2) – 2,8 0,4 x – 2 donc f ’(x) = 0,4 –
=
= x+2 x+2 x+2 3°) Tableau de valeurs de f x 0
5
10 f (x)
3,1
1,6
2

15
3,1

20
4,3

25
5,8

30
7,3

35
8,9

40
10,5

4°) Graphique à échelle réduite

or x + 2 est toujours strictement positif sur [0 ; 40] et 0,4 x – 2 = 0 ssi 0,4x = 2 soit x = 5 donc on a le tableau de variation suivant : x 0

0,4x – 2

5

40

0

x+2 f '(x)

0

5 – 2,8 ln2

21 – 2,8ln 42

f (x)
7 – 2,8ln7

rq : dans le tableau de variation, on met de préférence les valeurs exactes des images. 2°) deux droites sont parallèles si elles ont même coefficient directeur, or la droite D a pour coefficient directeur 0,3.
D’autre part, le coefficient directeur de ∆, tangente à C au point d’abscisse a est f ’(a). Il faut donc résoudre l’équation f ’(a) = 0,3
0,4a – 2
= 0,3 soit 0,4a – 2 = 0,3(a + 2) soit a+2
0,4a – 2 = 0,3a + 0,6
0,1a = 2,6 a = 26
Le point A pour lequel la tangente ∆ à la courbe C est parallèle à D, a pour abscisse 26

Deuxième partie
1°) C (n) = f (n) pour n entier appartenant à [0 ; 40] or, d’après le tableau de variation du A 1°), f admet un minimum en x = 5 et f (5) = 7 – 2,8 ln 7 ≈ 1,55 donc le coût de production est minimal si on construit 5 villas et ce coût minimal est alors de 1,55 millions d’euros soit 1 550 000 €
2°) Chaque villa est vendue 300 000 € soit 0,3 millions d’euros donc la recette, pour n villas vendues est R (n) = 0,3 n et donc la droite D d’équation y = 0,3x représente cette recette
Pour déterminer le nombre minimal de villas à construire pour réaliser un bénéfice positif, on cherche la plus petite valeur entière de x pour laquelle la droite D est au dessus de C soit x = 6
Le promoteur réalise un bénéfice à partir de 6 villas construites et vendues

3°) Graphiquement, le bénéfice est représenté par