Mariage traditionnel

Pages: 54 (13380 mots) Publié le: 4 mai 2013
Université Joseph Fourier, Grenoble

Maths en Ligne

Développements limités
Bernard Ycart
Les développements limités sont l’outil principal d’approximation locale des fonctions. L’objectif de ce chapitre est de vous apprendre à les calculer. Vous aurez essentiellement besoin de savoir manipuler des polynômes, ainsi que d’avoir assimilé les limites, la comparaison des fonctions et ladérivation.

Table des matières
1 Cours 1.1 Polynômes de Taylor . . . . . . . . . . . . 1.2 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . 1.3 Opérations sur les développements limités 1.4 Développement des fonctions usuelles . . . 1.5 Développements asymptotiques . . . . . . 2 Entraînement 2.1 Vrai ou faux . . . 2.2 Exercices . . . . . 2.3 QCM . . . . . . . 2.4 Devoir . . . . . . 2.5 Corrigé du devoir .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 5 7 9 16 19 19 23 31 33 35 40 40 41 42 42

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

3 Compléments 3.1 La formule de Machin . . . . . . . . . . 3.2 Taylor was rich . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Madhava de Sangamagramma . . . . . . 3.4 Polynômes d’approximation de Legendre

. . . .. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

27 avril 2012

Maths en Ligne

Développements limités

UJF Grenoble

1
1.1

Cours
Polynômes de Taylor

Commençons par rappeler deux résultats fondamentaux que vous connaissez déjà par cœur (si ce n’est pasle cas, dépêchez-vous de les apprendre). Théorème 1. • Pour tout x ∈ ] − 1, 1[ : 1 = lim 1 + x + x2 + · · · + xn . 1 − x n→∞ x2 xn x + + ··· + . n→∞ 1! 2! n! Le premier s’obtient à partir de l’identité : ex = lim 1 + 1 − xn+1 = (1 − x)(1 + x + x2 + · · · + xn ) . Le second se déduit de la formule du binôme de Newton et est démontré dans le chapitre sur les fonctions usuelles. Il faut voir dans (1)et (2) des résultats d’approximation : ils permettent d’évaluer de manière relativement précise la valeur prise par une fonction, en calculant un polynôme (ce qui est non seulement facile à la main, mais surtout peu coûteux en temps de calcul). À ce propos, dans tout le chapitre nous commettons l’abus de langage consistant à désigner par « polynôme » ce qui est en fait une fonction polynomiale.Considérons la formule (1). Notons : f (x) = 1 1−x et Pn (x) = 1 + x + x2 + · · · + xn . • Pour tout x ∈ R : (1)

(2)

La figure 1 montre une représentation graphique de la fonction f et des polynômes Pn pour n allant de 0 à 5. Plus n est grand, meilleure est l’approximation pour un x donné. Dans ce cas particulier, il est facile de calculer l’erreur commise si on remplace f (x) par Pn (x). 1 1 −xn+1 xn+1 f (x) − Pn (x) = − = . 1−x 1−x 1−x Cette erreur est donc de l’ordre de xn+1 . Pour être plus concret, pensez x = 0.1. Alors xn = 10−n et Pn (0.1) = 1.11 . . . 1. La différence f (x) − Pn (x) vaut 10−n+1 /0.9. Pour n = 5, on commet une erreur de l’ordre du millionième en remplaçant 1/0.9 par 1.11111. L’intérêt est plus flagrant pour l’exponentielle, pour laquelle il n’existe pas d’autremoyen de calcul que de l’approcher par des polynômes. Posons : f (x) = ex et Pn (x) = 1 + 1 x2 xn x + + ··· + . 1! 2! n!

Maths en Ligne

Développements limités

UJF Grenoble

5

n= 5 n= 4 n= 3 n= 2 n= 1 1 −0.8 0 n= 0 0.8

Figure 1 – Fonction x → 1/(1 − x) et ses polynômes de Taylor en 0 jusqu’à l’ordre n = 5. Le tableau ci-dessous donne la différence entre f (0.1) et Pn (0.1), pour n...
Lire le document complet

Veuillez vous inscrire pour avoir accès au document.

Vous pouvez également trouver ces documents utiles

  • Le mariage traditionnel
  • Le mariage traditionnel dans le théâtre africain
  • Mariage traditionnel africain et mariage de l'ancienne france : ressemblances
  • La compensation matrimoniale dans le mariage traditionnel chleuh (maroc)
  • Les matériaux traditionnels
  • Société traditionnelle
  • Le mariage
  • Le mariage

Devenez membre d'Etudier

Inscrivez-vous
c'est gratuit !