c Christophe Bertault - MPSI

Matrices
Dans tout ce chapitre, K est l’un des corps R ou C. Tous les résultats présentés dans ce chapitre demeurent vrais si K est un corps quelconque, mais nous ne nous en préoccuperons pas ici. Les lettres n, p, q . . . désignent des entiers naturels non nuls.

Matrices et opérations sur les matrices

1
1.1

Matrices

Définition

(Matrice)

• On appelle matrice à n lignes et p colonnes à coefficients dans K ou matrice de taille n × p à coefficients dans K toute

 a11 a12 · · · a1p
 a21 a22 · · · a2p 

 famille A de np éléments de K présentée sous la forme d’un tableau de la forme  .
.
. , noté A = aij 1 i n ,
.
. 
 .
1 j p
.
.
.
an1 an2 · · · anp

 où aij ∈ K pour tout (i, j) ∈ 1, n × 1, p . a1j  a2j 
Le scalaire aij est appelé coefficient de A de position (i, j). Si j ∈ 1, p , la matrice . est appelée la j ème colonne de A, et


 .  i ∈ 1, n , la matrice ai1 ai2 · · · aip est appelée la ième ligne de A.
.
anj

• L’ensemble des matrices de taille n × p à coefficients dans K est noté Mn,p (K). Pour n = p, on parle des matrices carrées de taille n ; l’ensemble des matrices carrées de taille n à coefficients dans K est noté Mn (K). Pour p = 1, on parle de matrices colonnes de taille n. Enfin, pour n = 1, on parle de matrices lignes de taille p.
Si A est carrée, la famille (a11 , a22 , . . . , ann ) est appelée diagonale de A.
• La matrice de Mn,p (K) dont tous les coefficients sont nuls est appelée la matrice nulle de taille n × p.
Explication
• Une matrice de taille n × p à coefficients dans K n’est finalement qu’un élément de Knp , i.e. une famille de np éléments a11 a12
, on de K, mais qu’on a préféré écrire sous forme d’un tableau à n lignes et p colonnes. Ainsi, au lieu d’écrire a21 a22 np pourrait écrire (a11 , a12 , a21 , a22 ). En ce sens, on peut affirmer que Mn,p (K) = K .
Cependant, nous introduirons bientôt une loi interne de produit sur les matrices, et vous